Kezdőlap


Feladat:	1258. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Baka Sándor , Bucher J. , Böröcz Imre , Chabada György , Deák András , Faludy J. , Faragó Kálmán , Fonó András , Freud Géza , Fülöp J. , Gottlieb Endre , Hajdu Á. , Haraszthy András , Hódi Endre , Hoffmann Tibor , Horváth Sándor , Jesch A. , Klacskó Géza , Komló Gy. , Kornis Edit , Lipsitz Imre , Lóránd László , Mogyoróssy Kálmán , Pallós Károly , Schütz B. , Steiner Iván , Sulner L. , Szittyai Dezső , Szlovák István , Trunkó I.
Füzet:	1938/szeptember, 3. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Tizes alapú számrendszer, "a" alapú számrendszer (a >1, egész szám), Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/április: 1258. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Ha a keresett alapszám $x$ , akkor

\begin{matrix} 3 x^{3} + 3 x^{2} + 6 x + 2 = 1778, ill. 3 x^{3} + 3 x^{2} + 6 x = 1776, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} x^{3} + x^{3} + 2 x = 592. \end{matrix}

Eszerint

\begin{matrix} x^{3} < 592, azaz x\leq8. \end{matrix}

Másrészt

\begin{matrix} 3 x^{3} + 3 x^{2} + 6 x + 2 = 1778 < 4 x^{3}, tehát \\ x^{3} > \frac{1778}{4}, x > 7. \end{matrix}

Összefoglalva:

7 < x \leq 8

, tehát csak

x = 8

lehetséges.

Fonó András (Verbőczy István g. VI. o. Bp. I.)

II. Megoldás. Nyilvánvaló, hogy

x < 10

3362

jegyei között

6

szerepel, tehát

x > 6

Így

x

vagy

7

, vagy

8

, vagy

9

. Azonban

\begin{matrix} x^{3} + x^{2} + 2 x = x (x^{3} + x + 2) = 592 = 2^{4} \cdot 37. \end{matrix}

x

592

osztója; tehát nem lehet

7

, sem

9

.
Csak

x = 8

lehetséges, (

8

592

osztója).

Böröcz Imre (Ciszterci Szent Imre g. V. o. Bp.)