Feladat: 1257. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Antal I. ,  Bizám György ,  Bolgár Imre ,  Bucher J. ,  Böröcz Imre ,  Chabada György ,  Deák András ,  Faludy J. ,  Faragó Kálmán ,  Fonó András ,  Freud Géza ,  Fülöp J. ,  Gutmann István ,  Hajdu Á. ,  Haraszthy András ,  Hoch M. ,  Hódi Endre ,  Hoffmann Tibor ,  Holló György ,  Horváth Sándor ,  Jándy G. ,  Kalcsó Gyula ,  Kornis Edit ,  Kovács Egon ,  Kovács Ervin ,  Kovács Gy. ,  Laub György ,  Lőke Endre ,  Martonfalvay H. ,  Ozoróczy Gyula ,  Pallós Károly ,  Schütz B. ,  Srubek K. ,  Steiner Iván ,  Sulner L. ,  Szabó E. ,  Szittyai Dezső ,  Szlovák István ,  Tótfalusy M. ,  Trellay János ,  Trunkó I. 
Füzet: 1938/szeptember, 2 - 3. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Legkisebb közös többszörös, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1938/április: 1257. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A keresett számok legyenek A és B, legn. k. osztójak D, tehát

A=aD és B=bD és legk. k. többszörösük abD

Itt a és b már relatív prímszámok. Adataink szerint
A+B=(a+b)D=2160ésabD=9828.

Minthogy a és b relatív prímszámok, kell, hogy a+b és ab is ilyenek legyenek. Ha ugyanis a+b és ab közös osztója lenne a p törzsszám, akkor p az ab szorzat egyik tényezőjének osztója, pl. a-nak; mivel még p az a+b összegnek is osztója, kell, hogy b-nek is osztója legyen, azaz: p az a és b számoknak is közös osztója lenne. Ez azonban ellenkezik azon feltevésünkkel, amely szerint a és b relatív prímek.
Ebből következik most már, hogy D, t. i. A és B legnagyobb k. osztója egyszersmind 2160 és 9828-nak is legn. k. osztója. Azonban
2160=24⋅33⋅5és9828=22⋅33⋅7⋅13és ígyD=23⋅33=108.

Eszerint
a+b=20ésab=91,
tehát a és b az
x2-20x+91=0
egyenlet gyökei:
a=7ésb=13  vagy  a=13  és b=7.

Lényegileg egy számcsoportot kapunk, amely a feladat követelményének megfelel:
7⋅108=756és13⋅108=1404.

 Lőke Endre (Premontrei g. VI. o. Keszthely)
 

Jegyzet. ab=91 úgy értelmezhető, hogy 91 két tényezőre bontandó; ezek relatív prímek legyenek és összegük 20.
91 tényezői: 1, 7, 13, 91.
Ezek közül 7 és 13 elégítik ki a követelményeket.