Kezdőlap


Feladat:	1255. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Anda J. , Baka Sándor , Bizám György , Bolgár Imre , Erőd Márta , Faragó Kálmán , Fodor J. , Freud Géza , Hoffmann Tibor , Horváth Sándor , Klacskó Géza , Koren Pál , Lipsitz Imre , Löw E. , Mogyoróssy Kálmán , Schmidt Tibor , Schütz B. , Steiner Iván , Török E.
Füzet:	1938/május, 273 - 274. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek egybevágósága, Derékszögű háromszögek geometriája, Egyenes, Téglalapok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/március: 1255. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A szilárd derékszög csúcsa legyen $O$ . Az $A B$ átmérőhöz tartozó kör keresztülmegy az $O$ és $C$ csúcsokon. Az $A$ az $O y$ , a $B$ az $O x$ egyenesen csúszik.

Tegyük fel, hogy

C

és

O

A B

ellenkező oldalain feküsznek. Az

A O C

és

A B C

ez előbbi körben ugyanazon

(\hat{A C})

ívhez tartozó kerületi szögek és így egyenlők. Azonban

A B C

állandó nagyságú szög; ezért

A O C ∢

is állandó. Ebből következik, hogy

C

egy szilárd

O z

egyenesen mozog; ez az

O A

-val az

A B C ∢

-gel egyenlő szöget zár be.
Ha pedig

C'

és

O

A B

átmérő ugyanazon oldalán feküsznek, akkor

B

\hat{C B C'}

ív felező pontja; tehát

C

oly

O z

szilárd egyenesen mozog, mely

O z

-vel szimmetrikus az

O x

-re nézve.
Nyilvánvaló, hogy

C

és

C C'

ezen egyeneseknek csak véges darabjait írhatják le; ugyanis a kör

O C

, ill.

O C'

húrja nem lehet nagyobb a kör

A B

útmérőjénél, legfeljebb ezzel egyenlő.

O z

egyenesnek bármely olyan pontja, melynek távolsága

O

-tól legfeljebb

A B

-vel egyenlő, a mértani helyhez tartozik. Valóban: ha

O C < A B

, akkor két olyan kör létezik,¹ amely keresztülmegy az

O

és

C

pontokon, átmérője pedig

A B

. Ezek egyike

O x

-et a

B

-ben,

O y

-t az

A

-ban metszi, úgy hogy

A B

valóban a megadott háromszög átfogójával egyenlő és

A B C ∢ = A O z ∢

, a háromszög egyik hegyes szögével egyenlő. Így

A B C △

a megadott derékszögű háromszöggel egybevágó.
Minthogy két olyan kör szerkeszthető

B C

átmérővel, mely keresztülmegy az

O

és

C

pontokon, a

C

pont kétszer írja le az

O z

egyenes szóbanforgó darabját,

O C_{1}

-t.
A

C

O

pontba kerül (

C_{0}

), amikor

C A

O y

egyenesen helyezkedik el; a háromszög helyzete

A_{0} B_{0} C_{0} (C_{0} \equiv 0)

C

legnagyobb távolsága

O

-tól

= B C

, akkor áll elő, amidőn az

O A C B

idom téglalap, tehát

O C_{1} = A_{1} B_{1}

Bizám György (Bólyai g. VI. o. Bp. V.)

¹L. az 1254. gyakorlatban.