Kezdőlap


Feladat:	1252. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bizám György , Böröcz Imre , Deák András , Dénes L. , Fodor J. , Fonó András , Freud Géza , Hajdu Á. , Hoffmann Tibor , Horváth Sándor , Koren Pál , Kovács Ibolya , Lipsitz Imre , Mogyoróssy Kálmán , Schmidt Tibor , Sebők László , Steiner Iván , Szittyai Dezső
Füzet:	1938/május, 271 - 272. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Magasságvonal, Terület, felszín, Négyszögek geometriája, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/március: 1252. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás.
Az $A C E D$ négyszöget három háromszögre bontjuk: $A B C$ , $B D E$ , $B C E$ háromszögekre.
Az $A B C △$ területe $t_{1} = \frac{x^{2} \sqrt[]{3}}{4}$ .

Az $A B C △$ magasságai az $O$ pontbam metszik egymást. A $B C$ oldalhoz tartozó magasság az $F$ pontban metszi $D E$ -t. Mint hogy $C O ∥ D E$ és $A F ∥ C E$ , a $C O F E$ idom parallelogramma, tehát

\begin{matrix} E F = C O = \frac{2}{3} C H = \frac{2}{3} \cdot \frac{x \sqrt[]{3}}{2} = \frac{x}{\sqrt[]{3}}, \end{matrix}

továbbá

C E = O F = A F - A O

Minthogy

D A F ∢ = 30^{\circ}, A F = A D : \frac{\sqrt[]{3}}{3} = \frac{2 d}{\sqrt[]{3}}

és

D F = \frac{d}{\sqrt[]{3}}

.

Eszerint

C E = \frac{2 d}{\sqrt[]{3}} - \frac{x}{\sqrt[]{3}} = \frac{2 d - x}{\sqrt[]{3}}

.

Már most a

B D E

derékszögű háromszög területe

\begin{matrix} t_{2} = \frac{B D \cdot D E}{2} = \frac{d - x}{2} \cdot \frac{d + x}{\sqrt[]{3}} = \frac{d^{2} - x^{2}}{2 \sqrt[]{3}} . \end{matrix}

B C E

derékszögű háromszög területe

\begin{matrix} t_{3} = \frac{B C \cdot C E}{2} = \frac{x (2 d - x)}{2 \sqrt[]{3}} . \end{matrix}

A C E D

négyszög területe

\begin{matrix} t = t_{1} + t_{2} + t_{3} = \frac{x^{2} \sqrt[]{3}}{4} + \frac{d^{2} - x^{2}}{2 \sqrt[]{3}} + \frac{2 d x - x^{2}}{2 \sqrt[]{3}} = - \frac{x^{2}}{4 \sqrt[]{3}} + \frac{d x}{\sqrt[]{3}} + \frac{d^{2}}{2 \sqrt[]{3}} = \\ = \frac{2 d^{2} + 4 d x - x^{2}}{4 \sqrt[]{3}} = \frac{6 d^{2} - {(2 d - x)}^{2}}{4 \sqrt[]{3}} . \end{matrix}

x

növekedik

0

-tól

d

-ig,

{(2 d - x)}^{2}

értéke csökken állandóan

4 d^{2}

-től

d^{2}

-ig, tehát

t

értéke állandóan növekedik

\frac{d^{2}}{2 \sqrt[]{3}}

-től

\frac{5 d^{2}}{4 \sqrt[]{3}}

-ig. A változást egy olyan parabola felszálló íve tünteti fel, melynek felső tetőpontja van az

x = 2 d

helyen.
Mogyoróssy Kálmán (Br. Kemény Zsigmond g. VI. o. Bp. VI.).

II. Megoldás. Miközben

x

változik 0-túl

d

-ig, a

C

csúcs a szilárd

A L

egyenesen mozog

A

-tól

C'

-ig.

A L

A D

-hez

60^{\circ}

-ú szög alatt hajlik és

A C' = A D = d

. A

C E

állandóan párhuzamos marad az

A F

magassági vonallal és határhelyzetei

A F

C' E'

.
Az

A C E D

négyszög területének kezdő értéke az

A D F △

-ével egyenlő, tehát

\frac{d}{2} \cdot \frac{d}{\sqrt[]{3}} = \frac{d^{2}}{2 \sqrt[]{3}}

.
A négyszög területének másik határértéke az

A C' E' D

négyszögé. Ez két részből áll: az

A C' D

egyenlő oldalú és a

D C' E'

derékszögű háromszögekből.

Az előbbi területe

\frac{d^{2} \sqrt[]{3}}{4}

, az utóbbi egybevágó

A D F △

-gel, területe

\frac{d^{2}}{2 \sqrt[]{3}}

.
A négyszög területének legnagyobb értéke:

\begin{matrix} \frac{a^{2} \sqrt[]{3}}{4} + \frac{d^{2}}{2 \sqrt[]{3}} = \frac{3 d^{2}}{4 \sqrt[]{3}} + \frac{2 d^{2}}{4 \sqrt[]{3}} = \frac{5 d^{2}}{4 \sqrt[]{3}} . \end{matrix}

Szittyai Dezső (Wágner g. V. o. Rákospalota).

^*BD=AD-AB=d-x; DE=DF+FE=

\frac{d}{\sqrt[]{3}}

\frac{x}{\sqrt[]{3}}