Feladat: 1251. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Baán Sándor ,  Baka Sándor ,  Bizám György ,  Faragó Kálmán ,  Fonó András ,  Freud Géza ,  Gutmann István ,  Haraszthy András ,  Hódi Endre ,  Hoffmann Tibor ,  Horváth Sándor ,  Lipsitz Imre ,  Mandl Tibor ,  Mendelsohn György ,  Névtelen ,  Pfeifer Béla ,  Steiner Iván ,  Szittyai Dezső ,  Szlovák István ,  Vajda G. ,  Vízhányó F. 
Füzet: 1938/május, 270. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Nevezetes azonosságok, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Polinomok szorzattá alakítása, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1938/március: 1251. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen x3=y. Az y2-165y+64=0


egyenlet gyökei: 85±64⋅5-64=8(5±2) alakban írhatók.


Tehát x6-165x3+64=[x3-8(5+2)][x3-8(5-2)].

Vizsgáljuk meg, hogy 8(5±2) nem tekinthető-e a5±b alakú szám köbének?
(a5+b)3=5a35+15a2b+35ab2+b3=85+2,
ha az 5a3+3ab2=8, 15a2b+b3=16


egyenletrendszernek van megoldása. Ilyen megoldás nyilván a=1, b=1. Ha b=-1(a=1), akkor az első egyenlet változatlan marad, míg a másodikban a jobb oldalon -16-ot kapunk. Eszerint
8(5+2)=(5+1)3,8(5-2)=(5-1)3.


Így:   x6-165x3+64=[x3-(5+1)3][x3-(5-1)3].

Azonban ismeretes, hogy x3-A3=(x-A)(x2+Ax+A2), tehát
x3-(5+1)3=(x-5-1)[x2+x(5+1)+6+25]x3-(5-1)3=(x-5+1)[x2+x(5-1)+6-25].



Az (x2+Ax+A2)-nek megfelelő másodfokú kifejezések nem bonthatók fel valós tényezőkre, mert discriminánsuk A2-4A2=-3A2<0.
 
 Faragó Kálmán (Izr. g. VI. o., Debrecen) ,