Kezdőlap


Feladat:	1249. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Antal I. , Baán Sándor , Baka Sándor , Barinkay E. , Berger G. , Bertalanffy Judit , Bizám György , Bolgár Imre , Böröcz Imre , Chabada György , Dallos R. , Deák András , Dénes L. , Erőd Márta , Faludy J. , Faragó Kálmán , Farkas I. , Fellegi Ö. , Fodor J. , Fonó András , Forgács Péter , Freud Géza , Gémesi L. , Gottlieb Endre , Gutmann István , Guttmann Gy. , Győry T. , Gyulay Z. , Hajdu Á. , Haraszthy András [ , Hódi Endre , Hoffmann Tibor , Horváth M. , Horváth Sándor , Horváth T. , Hörömpöly I. , Jándy G. , Jesch A. , Kalcsó Gyula , Kardos T. , Kertész L. , Keve T. , Klacskó Géza , Komor E. , Koós I. , Koren Pál , Kovács Ervin , Kovács I. , Kovács Ibolya , Kunstädter L. , Laub G. , Lieszkovszky P. , Lindner A. , Lipsitz Imre , Lőke Endre , Lóránd László , Mandl Tibor , Marosi M. , Martonfalvay A. , Mendelsohn György , Mogyoróssy Kálmán , Mórocza J. , Ozoróczy Gyula , Pallós Károly , Pfeifer Béla , Róth Gy. , Róth V. , Sámuel E. , Schmidt Tibor , Schütz B. , Sebők László , Spirer P. , Stern I. , Szittyai Dezső , Szlovák István , Tóth G. , Tóthfalusy M. , Trellay János , Trunkó I. , Török E. , Vajda G. , Vízhányó F. , Vizi László
Füzet:	1938/május, 268 - 269. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/március: 1249. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük a következő kifejezéseket:

\begin{matrix} f_{1} = \sqrt[]{\frac{x}{a} + \frac{c}{b}} + \sqrt[]{\frac{x}{a} + \frac{c}{b}} + \sqrt[]{\frac{4 x}{a} - \frac{2 c}{b}} \\ f_{2} = \sqrt[]{\frac{x}{a} + \frac{c}{b}} + \sqrt[]{\frac{x}{a} - \frac{c}{b}} + \sqrt[]{\frac{4 x}{a} - \frac{2 c}{b}} . \end{matrix}

Minthogy valós értékű négyzetgyököket veszünk figyelembe,

f_{1}

és

f_{2}

egy időben valósak. Azonban

f_{1}

pozitív, míg

f_{2} = 0

is lehet, és éppen az a kérdés, hogy

x

mely értékénél lesz

f_{2} = 0

? Ha

f_{2} = 0

, akkor

f_{1} f_{2} = O

és megfordítva: ha

f_{1} f_{2} = 0

, akkor

f_{2} = 0

(mert

f_{1} > 0

). Eszerint az

f_{2} = 0

egyenlet aequivalens az

\begin{matrix} f_{1} f_{2} = \frac{x}{a} + \frac{c}{b} + \frac{x}{a} - \frac{c}{b} + 2 \sqrt[]{\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{c^{2}}{b^{2}}} - (\frac{4 x}{a} - \frac{2 c}{b}) = 0 \end{matrix}

egyenlettel, vagy rendezve:

\begin{matrix} f_{1} f_{2} = - \frac{2 x}{a} + \frac{2 c}{b} + 2 \sqrt[]{\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{c^{2}}{b^{2}}} = 0, \end{matrix}

ill.

f_{1} f_{2} = 2 [\sqrt[]{(\frac{x}{a} + \frac{c}{b}) (\frac{x}{a} - \frac{c}{b})} - (\frac{x}{a} - \frac{c}{b})] = 0.

\frac{x}{a} - \frac{c}{b} < 0

, akkor a baloldalon pozitív tagok állanak, összegük nem lehet zérus; az egyenletnek nincs megoldása.
Ha

\frac{x}{a} - \frac{c}{b} > 0

, akkor

\begin{matrix} f_{1} f_{2} = 2 \sqrt[]{\frac{x}{a} - \frac{c}{b}} (\sqrt[]{\frac{x}{a} + \frac{c}{b}} - \sqrt[]{\frac{x}{a} - \frac{c}{b}}) = 0. \end{matrix}

1^{0} . f_{1} f_{2} = 0, ha \frac{x}{a} - \frac{c}{b} = 0; ekkor f_{2} = 0, de f_{1} \neq 0 és x = \frac{a c}{b}

.

T. i.,

ha \frac{x}{a} = \frac{c}{b}, akkor f_{2} = \sqrt[]{\frac{2 c}{b}} - \sqrt[]{\frac{2 c}{b}} = 0,

míg

f_{1} = \sqrt[]{\frac{2 c}{b}} + \sqrt[]{\frac{2 c}{b}} = 2 \sqrt[]{\frac{2 c}{b}} .

2^{0} . f_{1} f_{2} = 0

, ha

\sqrt[]{\frac{x}{a} + \frac{c}{b}} = \sqrt[]{\frac{x}{a} - \frac{c}{b}}

.
Ezen egyenlőség azonossággá válik, ha

\frac{c}{b} = 0

, és így

f_{2} = 0

x

bármely értékénél, míg

f_{1} = 4 \sqrt[]{\frac{x}{a}}

. Azonban, ha

\frac{c}{b} \neq 0

, ellenmondást tartalmaz és nem szolgáltat véges megoldást.

Freud Géza (Berzsenyi Dániel g. VI. o. Bp. V.)