Kezdőlap


Feladat:	1247. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baka Sándor , Bizám György , Fonó András , Freud Géza , Hoffmann Tibor , Komlós János , Mendelsohn J. György , Sándor Gyula , Say Ferenc , Steiner Iván , Vizi László
Füzet:	1938/május, 267. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Prímtényezős felbontás, Legnagyobb közös osztó, Legkisebb közös többszörös, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/március: 1247. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha az $N$ szám az $a$ , $b$ , $c$ , $...$ számoknak legkisebb közös többszöröse, akkor kell, hogy az

\begin{matrix} \frac{N}{a}, \frac{N}{b}, \frac{N}{c}, ... \end{matrix}

(1)

hányadosoknak ne legyen közös oszlójuk, azaz ezen hányadosok együttesen relatív prímek legyenek.
(Ugyanis, ha az (1) hányadosoknak volna még egy

δ

közös osztójuk, azaz

\begin{matrix} \frac{N}{a} = δ a', \frac{N}{b} = δ b', \frac{N}{c} = δ c', ... \end{matrix}

ahol

a'

b'

c'

...

már relatív prímek, akkor

\begin{matrix} \frac{N}{δ} = a a', \frac{N}{δ} = b b', \frac{N}{δ} = c c', ... \end{matrix}

tehát az

a

b

c

...

számoknak legkisebb közös többszörösük

\frac{N}{δ}

lenne.)
Jelentse már most

P

A_{1} A_{2} A_{3}

szorzatot és

P_{i} = \frac{P}{A_{i}} (i = 1, 2, 3)

hányadost, azaz két-két

A

szorzatát. Minthogy

D

P_{i}

szorzatok legnagyobb közös osztója, a

\frac{P_{i}}{D} = a_{i}

hányadosok relatív prímek. Így

\begin{matrix} P = P_{i} A_{i} = D a_{i} A_{i}, azaz \frac{P}{D} : A_{i} = a_{i} (i = 1, 2, 3) . \end{matrix}

Látjuk tehát, hogy

\frac{P}{D}

A_{1}

A_{2}

A_{3}

számoknak olyan többszöröse, amelyet az

A_{1}

A_{2}

A_{3}

számokkal osztva, az

a_{1}

a_{2}

a_{3}

relatív prímszámokat nyerjük; tehát

\frac{P}{D}

valóban az

A_{1}

A_{2}

A_{3}

számok legkisebb közös többszöröse!
Igazoljuk ezen megállapítást a megadott számokon.

\begin{matrix} 120 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 5 252 \cdot 120 = 2^{5} \cdot 3^{3} \cdot 5 \cdot 7 \\ 252 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 7 252 \cdot 350 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 7^{2} \\ 350 = 2 \cdot 5^{2} \cdot 7 350 \cdot 120 = 2^{4} \cdot 3 \cdot 5^{3} \cdot 7 \end{matrix}

Legkísebb közös többszörösük:

Legnagyobb közös osztójuk:

2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 7 = 12600

D = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 840

\begin{matrix} P = 120 \cdot 252 \cdot 350 = 2^{6} \cdot 3^{3} \cdot 5^{3} \cdot 7^{2} \\ \frac{P}{D} = \frac{2^{6} \cdot 3^{3} \cdot 5^{3} \cdot 7^{2}}{2^{3} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7} = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 7 = 12600. \end{matrix}

Baka Sándor (Br. Kemény Zsigmond g. V. o., Bp. VI.)