Feladat: 1244. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Adler S. ,  Baka Sándor ,  Berényi E. ,  Bolgár Imre ,  Bucher J. ,  Böröcz Imre ,  Dallos R. ,  Deák András ,  Erőd Márta ,  Faragó Kálmán ,  Fonó András ,  Freisinger T. ,  Freud Géza ,  Gottlieb Endre ,  Gutmann István ,  Haraszthy András ,  Hódi Endre ,  Hoffmann Tibor ,  Holló György ,  Horváth Sándor ,  Klein T. ,  Kovács Ibolya ,  Laub György ,  Lehrfeld L. ,  Lipsitz Imre ,  Martonfalvay M. ,  Matolcsy Kálmán ,  Pallós Károly ,  Sámuel E. ,  Steiner Iván ,  Székely Mária ,  Szittyai Dezső ,  Szlovák István ,  Trellay János ,  Török E. ,  Vajda G. ,  Vizi László 
Füzet: 1938/április, 234 - 235. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Derékszögű háromszögek geometriája, Hozzáírt körök, Hossz, kerület, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1938/február: 1244. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük most az ABC-höz ‐ a derékszög szárai között ‐ hozzáírt kört. Ennek érintési pontjai a háromszög oldalain (ill. meghosszabbításain) A', B', C'.

Ekkor

CA'=CB',AC'=AB',BC'-BA'
és
2s=CA'+AC'+BC'+CB==CB'+CA'=2CB'tehátCB'=CA'=s.



 

A szerkesztés ezek alapján a következő: a C csúcsú derékszög egyik szárára felmérjük a CA=b és CB'=s, a másik szárra a CA'=s távolságokat, továbbá megszerkesztjük azt a kört, amely a derékszög szárait A'-ben és B'-ben érinti. Ezen körhöz az A pontból (még egy) érintőt húzunk, mely a CA'-t a B pontban metszi.
A szerkesztés lehetőségének feltétele: b<s.
 
Bolgár Imre (Fáy András g. VI. o. Bp. IX.)

 

Jegyzet: Minthogy az átfogó c>b,
2s=a+b+c>2b,  azazs>b.

Ebből mindenesetre látjuk, hogy az s>b szükséges feltétel; a szerkesztésből látjuk, hogy egyszersmind elegendő.
 

II. Megoldás. Szerkesztünk egy derékszöget; ennek csúcsa C. Az egyik szárára felmérjük a CA=b távolságot, a másikra a CD=2s-b (=a+c) távolságot. Az így keletkező ACD AD átfogójára felező merőlegest állítunk; ez a CD-t a B pontban metszi. Minthogy így AB=BD, az ABC valóban megfelel a követelményeknek.
 
 

Az AD-t merőlegesen felező egyenesnek C és D között kell metszenie a CD egyenest. Hogy ez bekövetkezhessék, annak szükséges és elégséges feltétele, hogy
AC<CD,  azazb<2s-b
tehát
b<s.
(Ha 2s-b=b, vagyis b=s, akkor az AD-t merőlegesen felező egyenes a C ponton megy keresztül!)
 
Gottlieb Endre (Somssich Pál g. V. o. Kaposvár.)