Kezdőlap


Feladat:	1243. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Adler S. , Baka Sándor , Bizám György , Bolgár Imre , Böröcz Imre , Czoboly I. , Dallos R. , Deák András , Fellegi Ödön , Fonó András , Freisinger T. , Freud Géza , Hoffmann Tibor , Holló György , Horváth Sándor , Ketting F. , Klacskó Géza , Laub György , Lehrfeld L. , Lipsitz Imre , Lőke Endre , Mandel György , Matolcsy Kálmán , Mendelsohn György , Steiner Iván , Székely Mária , Szittyai Dezső , Szlovák István , Vajda G. , Vizi László
Füzet:	1938/április, 233 - 234. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Derékszögű háromszögek geometriája, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Beírt kör, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/február: 1243. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Jelöljék $A'$ , $B'$ , $C$ , a beírt kör megfelelő érintési pontjait a háromszög oldalain. Nyilván

\begin{matrix} C A' = C B', B A' = B C', A B' = A C' \end{matrix}

és

\begin{matrix} d = A C + B C - A B = \\ = A B' + C B' + B A' + C A' - A C' - B C' = \\ = C B' + C A = 2 C A' \end{matrix}

és így

C A' = C B' - \frac{d}{2} =

a beírt kör sugara.

A szerkesztés eszerint a következő: felmérjük az

A C = b

távolságot és erre rámérjük a

C B' = \frac{d}{2}

távolságot. A

B'

pontban

A C

-re merőlegest állítunk és erre rámérjük a

B I = \frac{d}{2}

távolságot; az

I

középpontból

\frac{d}{2}

sugarú kört rajzolunk és ehhez

A

és

C

pontokból újabb érintőket húzva, ezek a

B

csúcsban metszik egymást. (Minthogy

C B'

a kör sugarával egyenlő,

C B ⊥ A C

.
Hogy a szerkesztés elvégezhető legyen, szükséges és elegendő, hogy az

A

pontból húzott érintő

(A B)

C

pontból húzott

(C B)

érintőt oly

B

pontban messe, mely

C A'

irányában esik a

C A'

egyenesre, tehát kell, hogy

A C = b

nagyobb legyen a beírt kör átmérőjénél; minthogy ezen átmérő

2 \cdot \frac{d}{2} = d

, a szerkesztés lehetőségének feltétele:

b > d

Vizi László (Ciszterci Szent István g. V. o. Székesfehérvár.)

Jegyzet: Ha

A C = b

B C = a

A B = c

, adataink szerint

\begin{matrix} a + b - c = d vagy b - (c - a) = d . \end{matrix}

Minthogy

c > a

c - a > 0

; kell, hogy

d < b

legyen.

II. Megoldás. Legyen

A B C

a keresett háromszög. Hosszabbítsuk meg a

B C = a

oldalt a

C D = c - a = b - d

távolsággal. Így az

A B D △

egyenlőszárú, mert

\begin{matrix} B D = B C + C D = a + c - a = c = A B . \end{matrix}

A szerkesztés menete eszerint ez lesz: derékszöget szerkesztünk, melynek egyik szárára felmérjük a

C A = b

és a másikon

C D = b - d

megadott távolságokat. Az

A D

felezőpontjában merőlegest emelünk; ez az

A C D △

C D

befogóját tartó egyenest a

B

csúcsban metszi, így

A B C

a keresett háromszög.

Szlovák István (Vörösmarty g. VI. o. Bp. VIII.)