Kezdőlap


Feladat:	1242. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baka Sándor , Faragó Kálmán , Fonó András , Mendelsohn György , Steiner Iván
Füzet:	1938/április, 232 - 233. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Derékszögű háromszögek geometriája, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/február: 1242. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A keresett befogókat jelölje $x$ és $y$ .
Ezeknek kiszámitására szolgál az

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = a^{2} ... & (1) \\ 3 x + 4 y = k ... & (2) \end{matrix}

egyenletrendszer. Azt kell megállapítanunk, hogy a

k

mely értékeinél van az egyenletrendszernek valós megoldása? Így hozzájutunk

k

azon legnagyobb értékéhez, amelynél még van számbavehető megoldás.
(2)-ből

y = \frac{k - 3 x}{4}

. Ha ezt (1)-be helyettesítjük,

\begin{matrix} x^{2} = {(\frac{k - 3 x}{4})}^{2} = a^{2} ill. 16 x^{2} + k^{2} - 6 k x - 9 x^{2} = 16 a^{2}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} 25 x^{2} - 6 k x + k^{2} - 16 a^{2} = 0 ... \end{matrix}

(3)

egyenlethez jutunk. Ennek valósak a gyökei, ha

\begin{matrix} 36 k^{2} - 100 (k^{2} - 16 a^{2}) \geq 0 azaz - 64 k^{2} + 1600 a^{2} \geq 0. \end{matrix}

Minthogy itt

k

csak pozitív szám lehet,

k \leq 5 a

a feltétele annak, hogy a (3) gyökei valósak legyenek.
Eszerint

k

legnagyobb értéke

5 a

. Emellett a (3) gyökei egyenlők, még pedig:

x = \frac{3 a}{5}

és így

y = \frac{4 a}{5}

. A derékszögű háromszög oldalainak aránya:

3 : 4 : 5

Baka Sándor (Br. Kemény Zsigmond g. V. o. Bp. VI.)

Jegyzet:

\begin{matrix} {(3 x + 4 y)}^{2} + {(4 x + 3 y)}^{2} = 25 (x^{2} + y^{2}) = 25 a^{2} . \end{matrix}

Ezen összefüggésből kiolvashatjuk, hogy

{(3 x + 4 y)}^{2}

értéke legnagyobb akkor, ha

{(4 x - 3 y)}^{2}

értéke a legkisebb. Ezen legkisebb érték azonban zérus. Ha már most

\begin{matrix} 4 x - 3 y = 0, akkor \frac{x}{3} = \frac{y}{4} és 3 x + 4 y = 5 a, \end{matrix}

vagyis

3 x + 4 y

legnagyobb értéke

5 a

és ekkor

x = \frac{3 a}{5}

y = \frac{4 a}{5}