Feladat: 1241. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Anda J. ,  Antal I. ,  Baán Sándor ,  Baka Sándor ,  Bizám György ,  Bucher J. ,  Chabada György ,  Csallóközi Z. ,  Czoboly I. ,  Dallos R. ,  Fellegi Ödön ,  Fonó András ,  Forgács Péter ,  Freud Géza ,  Gémesi L. ,  Gutmann István ,  Gyulay Z. ,  Haraszthy András ,  Hódi Endre ,  Hoffmann Tibor ,  Horváth S. ,  Horváth Sándor ,  Juhász Kató ,  Kalcsó Gyula ,  Ketting F. ,  Klacskó Géza ,  Koren Pál ,  Kovács Egon ,  Kovács Ervin ,  Kovács Erzsébet ,  Kovács Gy. ,  Kovács Ibolya ,  Lipsitz Imre ,  Lőke Endre ,  Lóránd László ,  Lovass Nagy V. ,  Mandl Tibor ,  Martonfalvay A. ,  Matolcsy Kálmán ,  Mendelsohn György ,  Mogyoróssy K. ,  Pallós R. ,  Pfeifer Béla ,  Schütz B. ,  Steiner Iván ,  Szittyai Dezső ,  Szlovák István ,  Szubek K. ,  Trellay János ,  Vajda G. ,  Zsótér T. 
Füzet: 1938/április, 231 - 232. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Nevezetes azonosságok, Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Szimmetrikus egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1938/február: 1241. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. (1) szerint adva van a két ismeretlen összege. Vegyük hozzá az ismeretlenek különbségét, úgy hogy x-y=2z legyen. Ha z-t meghatároztuk, akkor x és y egyszerűen számítható.

x+y=2a...(1)
és
x-y=2z...(3)
alapján
x=a+z,y=a-z.

Helyettesítve ezeket (2)-be:
(a2-z2)[(a+z)2+(a-z)2]=2b4,ill.(a2-z2)2(a2+z2)=2b4.
Tehát:
a4-z4=b4ész=±a4-b44...(4)
x értéke és így x, y is valós, ha a4b4 vagy a2b2.

Eszerint
x=a+a4-b44,y=a-a4-b44...(5)
x és y ezen értékei felcserélhetők. (Szimmetrikus egyenletrendszerrel van dolgunk!)
A megadott numerikus értékekkel:
x=10+10000-93754=10+6254=15ésy=5,
vagy pedig
x=5ésy=15.

Baán Sándor (Bencés g. VI. o. Kőszeg).

 

II. Megoldás. A (2) egyenlet írható így is:
xy[(x+y)2-2xy]=xy(4a2-2xy)=2b4.
Ha mostxy=u,akkoru2-2a2u+b4=0...(6)

Ezen egyenlet gyökei valósak, ha a4-b40, azaz a2b2.
(6)-ból
u=xy=a2±a4-b4.

Eszerint x és y a következő egyenletek gyökei:
X2-2aX+u1=0...(7)X2-2aX+u2=0...(8)


ahol
u1=a2+a4-b4ésu2=a2-a4-b4.
A (7) gyökei nem valósak, mert
a2-u1=a2-a2-a4-b4=-a4-b4<0.

A (8) gyökei azonban valósak, mert a2-u2=a4-b4>0.

A (8) gyökei x1,2=a±a4-b4=a±a4-b4.
Ha X1=x, akkor X2=y, ill. X1=y, X2=x.
A numerikus értékeket l. az I. megoldásban.
 
Pfeifer Béla (Izr. g. V.o. Bp.).

 

Jegyzet: a4-b4=(a2-b2)(a2+b2)0, ha a2-b20. Ugyanis a2+b20, hacsak a és b valós számok.
a2-b20ha|a||b|.