Kezdőlap


Feladat:	1240. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Anda J. , Baán Sándor , Baka Sándor , Barinkay E. , Berger G. , Bizám György , Bucher J. , Chabada György , Csallóközi Z. , Csizmadia P. , Erőd Márta , Fábián J. , Faludy J. , Faragó M. , Fellegi Ödön , Fodor J. , Fonó András , Forgács Péter , Freud Géza , Fülöp J. , Gémesi L. , Gottlieb Endre , Gutmann Gy. , Gutmann István , Gyulai Z. , Haraszthy András , Hódi Endre , Hoffmann Tibor , Holló György , Horváth S. , Irányi L. , Jándy G. , Juhász G. , Juhász Kató , Kaiser K. , Kalcsó Gyula , Kertész L. , Klacskó Géza , Koren Pál , Kornis Edit , Kovács Egon , Kovács Ervin , Kovács Gy. , Kovács L. , Liebermann M. , Lipsitz Imre , Lőke Endre , Machovich O. , Magyar P. , Mandel György , Mandl Tibor , Martonfalvay K. , Mendelsohn György , Mogyoróssy K. , Nizsalovszki Mária , Pallós Károly , Pfeifer Béla , Sárkány S. , Schmidt Tibor , Schwarz Béla , Schütz B. , Spirer P. , Steinberger I. , Steiner Iván , Sulner L. , Szalay Klára , Szittyai Dezső , Szlovák István , Szubek K. , Trellay János , Trunkó I. , Vajda G. , Vízhányó F. , Vizi László , Zsótér T.
Füzet:	1938/április, 230 - 231. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/február: 1240. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $7 x^{2} - 5 x = y$ . Ezt helyettesítve, keletkezik:

\begin{matrix} - y - 8 \sqrt[]{y + 1} = 8 vagy - 8 \sqrt[]{y + 1} = 8 + y ... \end{matrix}

(1)

Innen már kiolvashatjuk, hogy egyenletünknek nem lehet megoldása. Ugyanis, (2) alapján kell hogy

8 + y \leq 0

, azaz

y \leq - 8

legyen. Azonban, ha

y \leq - 8

, akkor a baloldalon a négyzetgyök alatt

y + 1 \leq - 7

áll, tehát a baloldal nem lehet valós, holott a jobboldal valós.
Négyzetre emelve a (1) mindkét oldalán:

\begin{matrix} 64 (y + 1) = 64 y^{2} + 16 y ill. y^{2} - 48 y = y (y - 48) = 0 ... \end{matrix}

(2)

A (3) gyökei:

y_{1} = 0

y_{2} = 48

. Ha ezeket (1)-be helyettesítjük

\begin{matrix} - 8 = 8 ill. - 56 = 56, \end{matrix}

tehát ellenmondás áll elő.

y_{1} = 0

és

y 2 = 48

idegen gyökök, t. i. a

8 \sqrt[]{y + 1} = 8 + y

egyenlet gyökei. Ebből, négyzetreemelés által ugyancsak a (3)-hoz jutunk.

\begin{matrix} y_{1} = 0 mellett 7 x^{2} - 5 x = 0, azaz x_{1} = 0, x_{2} = \frac{5}{7} . \\ y_{2} = 0,, 7 x^{2} - 5 x - 48 = 0, azaz x'_{1} = 3, x'_{2} = - \frac{16}{7} . \end{matrix}

x_{1}

x_{2}

x'_{1}

x'_{2}

kielégítik valamennyien az

5 x - 7 x^{2} + 8 \sqrt[]{7 x^{2} - 8 x + 1} = 8

egyenletet.

Juhász Kató (Szent-Margit leányg. VI. o. Bp. XI.)