Kezdőlap


Feladat:	1237. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baka Sándor , Berger G. , Bizám György , Bucher J. , Chabada György , Czoboly I. , Dallos R. , Faragó Kálmán , Fodor J. , Fonó András , Fonó Erzsébet , Freud Géza , Gémesi L. , Gottlieb F. , Gutmann István , Haraszthy András , Hódi Endre , Hoffmann Tibor , Holló György , Horváth Sándor , Jesch A. , Juhász Kató , Kertész L. , Ketting F. , Koren Pál , Kornis Edit , Kovács Egon , Kovács Ervin , Kovács Gy. , Kovács Illés , Laub György , Lipsitz Imre , Lőke Endre , Lóránd E. , Lovass Nagy V. , Machovich O. , Mandel György , Matolcsy Kálmán , Mendelsohn György , Mogyoróssy A. , Ozoróczy Gyula , Pallós Károly , Schwartz Béla , Schütz B. , Steiner Iván , Sziklavári J. , Szittyai Dezső , Szlovák István , Vajda G. , Vízhányó F. , Vizi László , Zsótér T.
Füzet:	1938/április, 228 - 229. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Racionális számok és tulajdonságaik, Legnagyobb közös osztó, Prímtényezős felbontás, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/február: 1237. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Minthogy $45$ és $56$ relatív prímszámok, mindazon törtek, melynek értéke $\frac{45}{56}$ ,

\begin{matrix} \frac{45 m}{56 m} vagyis \frac{3^{2} \cdot 5 \cdot m}{2^{3} \cdot 7 \cdot m} \end{matrix}

alakúak. A számláló csak úgy lehet négyzetszám, ha minden törzstényezője páros kitevőjű; tehát kell, hogy

m = 5 r^{2}

legyen.
A nevező csak úgy lehet köbszám, ha minden törzstényezőjének kitevője 3 többszöröse; tehát kell, hogy

m = 7^{2} \cdot s^{3}

legyen. Eszerint

\begin{matrix} m = 5 r^{2} = 7^{2} s^{3}, \end{matrix}

következésként

r

osztható

7

-tel,

s

pedig

5

-tel és így

m

7^{2}

-ének és

5^{3}

-ének többszöröse:

\begin{matrix} m = 7^{2} \cdot 5^{3} \cdot t . \end{matrix}

A szóbanforgó törtek:

\begin{matrix} \frac{45 m}{56 m} = \frac{3^{2} \cdot 5^{4} \cdot 7^{2} \cdot t}{2^{3} \cdot 7^{3} \cdot 5^{3} \cdot t} = \frac{{(3 \cdot 5^{2} \cdot 7)}^{2} t}{{(2 \cdot 7 \cdot 5)}^{3} t} \end{matrix}

alakúak, ahol a

t

egyidőben négyzetszám és köbszám is tartozik lenni; ez csak úgy lehetséges, ha

t = x^{6}

. Eszerint a keresett törtszámok:

\begin{matrix} \frac{{(3 \cdot 5^{2} \cdot 7)}^{2} x^{6}}{{(2 \cdot 5 \cdot 7)}^{3} x^{6}} alakúak . \end{matrix}

Ezek között a legegyszerűbb

x = 1

esetében áll elő.
Ha

x = 1

\begin{matrix} \frac{45}{56} = \frac{45 \cdot 5^{3} \cdot 7^{2}}{56 \cdot 5^{3} \cdot 7^{2}} = \frac{45 \cdot 6125}{56 \cdot 6125} = \frac{{(525)}^{2}}{70^{3}} . \end{matrix}

Koren Pál ( Fazekas Mihály g. VI. o., Debrecen.)