Kezdőlap


Feladat:	1236. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bizám György , Büchler E. , Böröcz Imre , Erőd Márta , Freud Géza , Grosz L. , Hajnal Miklós , Halász Iván , Hoffmann Tibor , Horváth Sándor , Klein József , Lipsitz Imre , Rajó S. , Sándor Gyula , Steiner Iván , Szlovák István , Taksony György , Vízhányó F.
Füzet:	1938/április, 227 - 228. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletek, Paraméteres egyenletek, Trigonometriai azonosságok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/január: 1236. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Az addíció-tétel alkalmazásával:

\begin{matrix} sin 3 x = sin (2 x + x) = sin 2 x cos x + cos 2 x sin x = \\ = 2 sin x cos^{2} x + (cos^{2} x - sin^{2} x) sin x = (3 cos^{2} x - sin^{2} x) sin x . \end{matrix}

Ha itt még

cos^{2} x = 1 - sin^{2} x

helyettesítést végezünk, akkor

\begin{matrix} sin 3 x = (3 - 4 sin^{2} x) sin x = k sin x \end{matrix}

egyenlethez jutunk. A

sin x = 0

megoldást nem tekintve,

\begin{matrix} 3 - 4 sin^{2} x = k, ill. sin^{2} x = \frac{3 - k}{4} . \end{matrix}

Minthogy

sin^{2} x > 0

, kell, hogy

k ≦ 3

legyen; továbbá kell, hogy

sin^{2} x = \frac{3 - k}{4} \leq 1

legyen, azaz

k \geq 1

. Eszerint

k

[- 1, + 3]

intervallumban lehet.
Ha

k = - 1

sin^{2} x = 1

és

sin x = \pm 1

.
Ha

k = + 3

sin x = 0

Horváth Sándor (Br. Kemény Zsigmond g. VI. o. Bp. VI.).

II. Megoldás.

\begin{matrix} sin 3 x = 2 sin x cos^{2} x + cos 2 x sin x = k sin x \end{matrix}

egyenletből, a

sin x = 0

megoldást nem tekintve, keletkezik:

\begin{matrix} 2 cos^{2} x + cos 2 x = k vagy 1 + cos 2 x + cos 2 x = k \end{matrix}

és innen

\begin{matrix} cos 2 x = \frac{k - 1}{2} . \end{matrix}

Minthogy

cos 2 x \geq - 1

\frac{k - 1}{2} \geq - 1

, ha

k \geq - 1

.

Másrészt

cos 2 x \leq + 1

, tehát

\frac{k - 1}{2} \leq + 1

, ha

k ≦ + 3

.
Eszerint megoldás akkor van, ha

- 1 \leq k \leq + 3

.
Feltéve, hogy

k

eleget tesz ezen feltételnek,

\frac{k - 1}{2}

oly szög cosinusa, mely 0 és

π

között van; legyen egy ilyen szög

α

.
Így

\begin{matrix} 2 x = \pm α + 2 n π ill. x = n π \pm \frac{α}{2}, \end{matrix}

ahol

n

bármely egész számot jelent.