Kezdőlap


Feladat:	1234. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bolgár Imre , Freud Géza , Horváth Sándor , Kalcsó Gyula , Lőke Endre , Mogyoróssy Kálmán , Steiner Iván , Szittyai Dezső , Vizi László
Füzet:	1938/március, 202 - 203. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai bizonyítások, Oldalfelező merőleges, Szögfelező egyenes, Körülírt kör, Húrnégyszögek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/január: 1234. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $A C = b$ oldalra a $C$ pontban, az $A B = c$ oldalra a $B$ pontban állított merőleges az $\hat{A}$ ^{$^{*}$} felezőjét a $C_{1}$ ill. $B_{1}$ pontban metszi. Ekkor $A C_{1} C ∢ = A B_{1} B ∢ = 90^{\circ} - \frac{α}{2}$ . Hosszabbítsuk meg $C C_{1}$ -t, amíg $B B_{1}$ -t a $D$ pontban metszi. Ekkor a $B_{1} C_{1} D △$ egyenlőszárú, mert a $B_{1} C_{1}$ alapon fekvő szögei egyenlők. Tehát a $D$ -ből $B_{1} C_{1}$ -re állított merőleges felezi $B_{1} C_{1}$ -t az $A_{0}$ pontban. Ki kell mutatnunk, hogy $A_{0}$ az $A B C △$ köré írt körön fekszik.

B D C ∢ = 180^{\circ} - α

, mert

A B D ∢ = A C D ∢ = 90^{\circ}

; tehát

A B D C

húrnégyszög oly körben, melynek átmérője

A D

. Minthogy pedig

A A_{0} D ∢ = 90^{\circ}

, az

A_{0}

is az

A B C △

köré írt körön fekszik úgy, hogy felezi a

\hat{B D C}

ívet, tehát a

B C

oldalt merőlegesen felező egyenesen fekszik.
A

C C_{1}

és

B B_{1}

egyenesek az

A

csúcshoz tartozó külső szögfelezőt a

C'_{1}

ill.

B'_{1}

pontban metszik úgy, hogy a

B'_{1} C'_{1} D △

is egyenlőszárú, mert a

B'_{1} C'_{1}

alapon fekvő szögek mindegyike

\frac{α}{2}

. Ha

D

-ből

B'_{1} C'_{1}

-re merőlegest állítunk, ennek

A'_{0}

talppontja felezi

B'_{1} C'_{1}

-t. Azonban

D A'_{0} ∥ A A_{0}

(mert mind a kettő merőleges a külső szögfelezőre) és

D A_{0} ∥ A A'_{0}

, (mert mind a kettő merőleges a belső szögfelezőre). Eszerint az

A A'_{0} D A_{0}

idom téglalap, melynek átlói az

O

pontban, az

A B C △

köré írt kör középpontjában metszik egymást, tehát

A'_{0}

‐ az

A B C △

köré írt körön, ‐ ill. az

O A_{0}

egyenesen fekszik; ez pedig merőlegesen felezi

B C

-t.

Szittyai Dezső (Wagner g. V. o. Rákospalota.)

^{$^{*}$}

\hat{A}

az A csúcsnál levő szöget jelöli. (A szerk.)