Kezdőlap


Feladat:	1233. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Adler S. , Baka Sándor , Berényi E. , Bizám György , Böröcz Imre , Csölle E. , Dékán E. , Erőd Márta , Fellegi Ö. , Fischer K. , Freisinger T. , Freud Géza , Hoffmann Tibor , Holló György , Horváth Sándor , Klacskó Géza , Koren Pál , Kovács I. , Laub György , Lehrfeld L. , Lipsitz Imre , Lőke Endre , Löw E. , Matolcsy Kálmán , Névtelen , Rajó S. , Sámuel E. , Sziklavári J. , Szittyai Dezső , Szlovák István , Török E. , Vendler Z. , Vizi László , Wolfram E.
Füzet:	1938/március, 202. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Síkgeometriai szerkesztések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/január: 1233. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mindazon $C$ pontok, amelyekből az $r$ sugarú $O$ körhöz húzható érintők szöge $γ$ , egy körön feküsznek, melynek középpontja ugyancsak $O$ . Ha egy ilyen $C$ pontot találunk, akkor az $O C$ sugarú kör minden pontja megfelel.
Tegyük fel, hogy $O A < O B$ és így $α > β$ . Egyszerűség kedvéért forgassuk $O$ körül az $A$ pontot az $O B$ egyenesre, az $A'$ pontba. Az $O B$ egyenes a kört a $K$ pontban metszi. Az $A'$ pontból húzott érintők szöge $α$ , az érintési pontok $T_{a}$ , $T'_{a}$ , a $B$ pontból húzott érintőké $T_{b}$ , $T'_{b}$ . Ekkor

\begin{matrix} K O T_{a} ∢ = 90^{\circ} - \frac{α}{2}, K O T_{b} = 90^{\circ} - \frac{β}{2} . \end{matrix}

\hat{T_{a} T_{b}}

ív

T_{c}

felezőpontjára nézve

\begin{matrix} K O T_{c} ∢ = \frac{1}{2} (90^{\circ} - \frac{α}{2} + 90^{\circ} - \frac{β}{2}) = 90^{\circ} - \frac{α + β}{4} . \end{matrix}

Ha tehát

T_{c}

-ben a körhöz érintőt húzunk és ez az

O B

-t a

C

pontban metszi, akkor

O C T_{c} ∢ = \frac{α + β}{4} = \frac{γ}{2}

, tehát a

C

pontból húzott érintők szöge

γ

.
Az

O C

sugárral szerkesztett kör az

A B

egyenest a keresett

C_{1}

, ill.

C_{2}

pontokban metszi. (Mindig két megoldás!)
Ha

α = β

, akkor

O A = O B = O C

, azaz: az

O C

sugarú kör az

A B

egyenest az

A

és

B

pontokban metszi; ezek lesznek a keresett pontok.

Lőke Endre (Premontrei g. VI. o. Keszthely)