Kezdőlap


Feladat:	1228. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bizám György , Bucher J. , Csallóközi Z. , Csizmadia P. , Dallos R. , Deák András , Erőd Márta , Fellegi Ö. , Fodor J. , Freud Géza , Gutmann Gy. , Gutmann J. , Haraszthy András , Hódi Endre , Juhász Gy. , Ketting F. , Kornis Edit , Kovács Egon , Kovács Gy. , Machovich O. , Mórocza J. , Pallós R. , Ritscher László , Trellay János , Török E.
Füzet:	1938/március, 197 - 198. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Szorzat, hatványozás azonosságai, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Szögfelező egyenes, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/január: 1228. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük fel, hogy $l_{α} = l_{β}$ és, minthogy $l_{α}$ , $l_{β}$ pozitívek, emeljük négyzetre:

\begin{matrix} \frac{1}{{(b + c)}^{2}} b c (b + c + a) (b + c - a) = \frac{1}{{(c + a)}^{2}} c a (c + a + b) (c + a - b) . \end{matrix}

c

és

a + b + c

tényezők egyike sem zérus; ezekkel tehát egyszerűsíthetünk és így

\begin{matrix} \frac{b (b + c - a)}{{(b + c)}^{2}} = \frac{a (c + a - b)}{{(c + a)}^{2}} \\ {(c + a)}^{2} b (b + c) - a b {(c + a)}^{2} - {(b + c)}^{2} a (a + c) + a b {(b + c)}^{2} = 0 \\ (c + a) (b + c) [b (c + a) - a (b + c)] - a b (c + a + b + c) (a - b) = 0 \\ (c + a) (b + c) (b - a) c + a b (a + b + 2 c) (b - a) = 0 \\ (b - a) [c (c + a) (b + c) + a b (a + b + 2 c)] = 0. \end{matrix}

A szögletes zárójelben pozitív szám áll, tehát csak

b - a = 0

lehetséges, azaz

a = b

.
Amint látjuk,

l_{α} = l_{β}

akkor és csak akkor, ha

a = b

, azaz ha a háromszög egyenlőszárú.

Ritscher László (Kegyesrendi g. VI. o., Nagykanizsa)