Kezdőlap


Feladat:	1227. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Anda J. , Baka Sándor , Bizám György , Blazovich F. , Bucher J. , Böröcz J. , Csallóközi Z. , Dallos R. , Deák András , Dénes L. , Faludy J. , Fazekas F. , Fodor J. , Fonó András , Freud Gy. , Gutmann J. , Gyulay J. , Haraszthy András , Hódi Endre , Hoffmann Tibor , Holló György , Horváth Sándor , Juhász G. , Kassa L. , Keve T. , Koren P. , Kornis Edit , Kovács Egon , Kovács Ervin , Kovács J. , Laub György , Lőke Endre , Mandl Tibor , Martonfalvay K. , Pallós Károly , Ritscher L. , Steiner J. , Szalay László , Sziklavári J. , Szittyai Dezső , Tótfalussy M. , Trellay János , Urbanek Zsuzsanna , Vajda G. , Vízhányó F. , Vizi László , Zsótér T.
Füzet:	1938/március, 197. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Lineáris kongruencia-rendszerek, Maradékos osztás, Szöveges feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/január: 1227. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje $N$ az $5$ pengősök számát; ez adataink szerint $11$ többszöröse, azaz $N = 11 x$ . A többi tulajdonságait a következő egyenletek fejezik ki:

\begin{matrix} 11 x = 12 n + 3, 11 x = 18 p + 3, 11 x = 45 q + 3, \end{matrix}

azaz

11 x - 3

12

18

45

számoknak, ill. ezek legkisebb k. többszörösének, tehát

180

-nak valamely többszöröse. Eszerint

\begin{matrix} 11 x - 3 = 180 y \end{matrix}

Keresnünk kell ezen egyenlet pozitív egész számú megoldásait. Látjuk első sorban, hogy

x

3

többszöröse tartozik lenni, azaz

x = 3 z

és így

3

-mal való egyszerűsítés után

\begin{matrix} 11 z - 60 y = 1 vagy 11 (z - 5 y) - 5 y = 1. \end{matrix}

Utóbbi egyenlet egy megoldása:

y = 2

z - 5 y = 1

, ill.

z = 11

. Összes megoldásai

\begin{matrix} y = 2 + 11 m, z = 11 + 60 m ill. x = 33 + 180 m \end{matrix}

alakban írhatók, tehát

\begin{matrix} N = 363 + 1980 m . \end{matrix}

Azonban

\begin{matrix} 363 + 1980 m ≦ \frac{100000}{5} = 20000 \\ 1980 m ≦ 19637 és 0 ≦ m ≦ 9. \end{matrix}

A megoldások száma

10

, még pedig (számtani haladványban),

\begin{matrix} N = 363, 2343, 4323, ... 18183. \end{matrix}

Ezen számok ötszörösei a szóban forgó pénzösszegek.

Szalay László (Ref. Baksay Sándor g.VI. o., Kunszentmiklós)