A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A feladat követelményének megfelelő körök legyenek, ábránk szerint, és . Érintkezési pontjukat, -t, kössük össze -val és -vel. Az centrális a ponton megy keresztül.
Határozzuk meg az nagyságát:
| | (1) |
Vegyük figyelembe, hogy az ill. egyenlőszárú háromszögekben: ill. Így | | (2) |
Már most az ötszögben a szögek összege . A szögek között -nál és -nél derékszögek vannak, úgy hogy | | (3) |
Tekintettel erre, (2)-ben | | és így (1)-ből: azaz az állandó: mértani helye oly kör íve, melynek pontjaiból az távolság felének kiegészítő szöge alatt látható!
Jegyzet. A kör középpontja . Minthogy , ennek megfelelő középponti szög és így . Ebből következik, hogy , , , egy körön feküsznek, melyet az , , pontok határoznak meg. Ha -re, felezőpontjában merőlegest állítunk, ezen merőleges az (, , ) kört az és pontokban metszi. a kör azon ívén fekszik, amelyiken , és felezi az mellékszögét (az külső szögfelezője) felezi az -et. (Steiner Iván.) Az 1204. gyakorlatban az szárai egy egyenesbe esnek. Az ott szereplő és körök között csakis külső érintkezés lehetséges. Feladatunk ezeknek megfelelő körökre vonatkozik. Amíg az 1204. gyakorlatban és befuthatják az egyenesre állított ill. merőlegeseket és bármely helyzetük mellett csak külső érintkezés lehetséges, a szóbanforgó esetünkben a viszonyok másképpen is alakulhatnak.
Állítsunk az szárára az pontban, a szárára a pontban merőlegest, -et ill. -t. Az távolság felezőpontjában állítsunk -re merőlegest; ez a -t -ben, -et az -ban metszi. oly kör középpontja, mely -t a pontban érinti és keresztülmegy -n. Már most azon kör, mely -t -ban érinti és az kört is érinti, csak az pontba zsugorodott kör lehet. (A pont az -ba esik!) Hasonlóan oly kör középpontja, mely -t az -ban érinti és keresztülmegy a ponton. Azon kör, mely -t -ben érinti és az kört is érinti, csak a pontba zsugorodott kör lehet. (A pont a -be esik).
Eszerint az kör középpontja az egyenesnek darabját, az kör középpontja a egyenesnek darabját futhatja be. Ha ill. az darabon, ill. darabon kívül esik, akkor is lesznek a feltételnek megfelelő körök, csakhogy belső érintkezéssel. Ilyen körök érintkezési pontjai azon kör ívén feküsznek, melynek középpontja . Ezen esetekben | |
(Ádám László). Az összetartozó és körök szerkesztése a következőképpen történhetik: az egyenesen tetszőlegesen (-n belül) felvett pontból megrajzoljuk az sugarú kört. Az ponton keresztül -re merőleges átmérőt húzunk; az kört a , pedig a pontban metszi. az és , az és körök hasonlósági pontja. a -t az , a -t az pontban metszi. sugarú kör -t a , az kört a pontban érinti. Az sugarú kör az -t a -ben, az kört a -ben érinti. Az . Utóbbi az körben oly kerületi szög, mely az ívhez tartozik. Azonban ; ugyanis és ív az középponti szögnek felel meg. De , mert száraik megfelelően merőlegesek egymásra. Az -et felező egyenes az -et, ill. -t oly kör középpontjában metszi, mely az szög szárait érinti. Az első esetben az körhöz tartozó egyik kör az egyenes, a második esetben az körhöz tartozó egyik kör az egyenes. (Belső érintkezés!) A index határhelyzetet jelent.Ha az körből indulunk ki, azaz keresünk olyan kört, mely -t az -ban érinti és -t is érinti, ilyen kettő lesz: az egyik az , a másik azonban az szárain kívül fekszik, és középpontja az körnek az szárain kívül eső részén. |
|