Kezdőlap


Feladat:	1226. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ádám László , Freud Géza , Steiner Iván
Füzet:	1938/február, 169 - 171. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szögfelező egyenes, Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Körérintési szerkesztések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/december: 1226. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat követelményének megfelelő körök legyenek, ábránk szerint, $O$ és $O'$ . Érintkezési pontjukat, $C$ -t, kössük össze $A$ -val és $B$ -vel. Az $O O'$ centrális a $C$ ponton megy keresztül.

Határozzuk meg az

A B C ∢

nagyságát:

\begin{matrix} A B C ∢ = 180^{\circ} - (O C A ∢ + O' C B ∢) ... \end{matrix}

(1)

Vegyük figyelembe, hogy az

O C A

ill.

O' C B

egyenlőszárú háromszögekben:

\begin{matrix} 2 O C A ∢ = 180^{\circ} - A O C ∢ . \end{matrix}

ill.

\begin{matrix} 2 O' C B ∢ = 180^{\circ} - B O' C ∢ \end{matrix}

Így

\begin{matrix} O C A ∢ + O' C B ∢ = 180^{\circ} - \frac{1}{2} (A O C ∢ + B O' C ∢) ... \end{matrix}

(2)

Már most az

S A O O' B

ötszögben a szögek összege

3 \cdot 180^{\circ}

.
A szögek között

A

-nál és

B

-nél derékszögek vannak, úgy hogy

\begin{matrix} A O C ∢ + B O' C ∢ = 2 \cdot 180^{\circ} - A S B ∢ ... \end{matrix}

(3)

Tekintettel erre, (2)-ben

\begin{matrix} O C A ∢ + O' C B ∢ = 180^{\circ} - \frac{1}{2} (2 \cdot 180^{\circ} - A S B ∢) = \frac{1}{2} A S B ∢ \end{matrix}

és így (1)-ből:

\begin{matrix} A C B ∢ = 180^{\circ} - \frac{1}{2} A S B ∢, \end{matrix}

azaz az

A C B ∢

állandó:

C

mértani helye oly

γ

kör íve, melynek pontjaiból az

A B

távolság

A S B ∢

felének kiegészítő szöge alatt látható!

Jegyzet. A

γ

kör középpontja

ω

. Minthogy

A C B ∢ = 180^{\circ} - \frac{1}{2} A S B ∢

, ennek megfelelő középponti szög

360^{\circ} - A S B ∢

és így

A ω B ∢ = A S B ∢

. Ebből következik, hogy

A

B

S

ω

egy körön feküsznek, melyet az

A

S

B

pontok határoznak meg. Ha

A B

-re, felezőpontjában merőlegest állítunk, ezen merőleges az (

A

S

B

) kört az

ω

és

ω'

pontokban metszi.

ω

a kör azon ívén fekszik, amelyiken

S

, és

S ω

felezi az

A S B ∢

mellékszögét (az

A S B △

külső szögfelezője)

S ω

felezi az

A S B ∢

-et. (Steiner Iván.)
Az 1204. gyakorlatban az

A S B ∢

szárai egy

e

egyenesbe esnek. Az ott szereplő

O

és

O'

körök között csakis külső érintkezés lehetséges. Feladatunk ezeknek megfelelő körökre vonatkozik. Amíg az 1204. gyakorlatban

O

és

O'

befuthatják az

e

egyenesre állított

A x

ill.

B y

merőlegeseket és bármely helyzetük mellett csak külső érintkezés lehetséges, a szóbanforgó esetünkben a viszonyok másképpen is alakulhatnak.

Állítsunk az

A S B ∢

A S

szárára az

A

pontban, a

B S

szárára a

B

pontban merőlegest,

A x

-et ill.

B y

-t. Az

A B

távolság

F

felezőpontjában állítsunk

A B

-re merőlegest; ez a

B y

-t

O'_{h}

-ben,

A x

-et az

O_{h}

-ban metszi. ^{$^{*}$}

O'_{h}

oly kör középpontja, mely

S B

-t a

B

pontban érinti és keresztülmegy

A

-n. Már most azon kör, mely

S A

-t

A

-ban érinti és az

(O'_{h})

kört is érinti, csak az

A

pontba zsugorodott kör lehet. (A

C

pont az

A

-ba esik!)
Hasonlóan

O_{h}

oly kör középpontja, mely

S A

-t az

A

-ban érinti és keresztülmegy a

B

ponton. Azon kör, mely

S B

-t

B

-ben érinti és az

(O_{h})

kört is érinti, csak a

B

pontba zsugorodott kör lehet. (A

C

pont a

B

-be esik).

Eszerint az

(O)

kör

O

középpontja az

A x

egyenesnek

A O_{h}

darabját, az

(O')

kör

O'

középpontja a

B y

egyenesnek

B O'_{h}

darabját futhatja be.
Ha

O

ill.

O'

A O_{h}

darabon, ill.

B O_{h}

darabon kívül esik, akkor is lesznek a feltételnek megfelelő körök, csakhogy belső érintkezéssel. Ilyen körök

C'

érintkezési pontjai azon kör ívén feküsznek, melynek középpontja

ω'

. Ezen esetekben

\begin{matrix} A C' B ∢ = 90^{\circ} + \frac{φ}{2} és A ω' B ∢ = 180^{\circ} - φ . \end{matrix}

(Ádám László).

Az összetartozó

O

és

O'

körök szerkesztése a következőképpen történhetik: az

A x

egyenesen tetszőlegesen (

O_{h}

-n belül) felvett

O

pontból megrajzoljuk az

O A

sugarú

(O)

kört. Az

O

ponton keresztül

S B

-re merőleges

M N

átmérőt húzunk;

B M

(O)

kört a

C

B N

pedig a

C'

pontban metszi.

C

O

és

O'

C'

O

és

O'_{1}

körök hasonlósági pontja.

O C

B y

-t az

O'

O C'

B y

-t az

O'_{1}

pontban metszi.

O' B

sugarú kör

S B

-t a

B

, az

(O)

kört a

C

pontban érinti. Az

O'_{1} B

sugarú kör az

S B

-t a

B

-ben, az

(O)

kört a

C'

-ben érinti. ^{$^{*}$}
Az

A C' B ∢ \equiv A C' N ∢

. Utóbbi az

(O)

körben oly kerületi szög, mely az

\hat{N M A}

ívhez tartozik. Azonban

\hat{N M A} = 180^{\circ} + φ

; ugyanis

\hat{N M} = 180^{\circ}

és

\hat{M A}

ív az

A O M

középponti szögnek felel meg. De

A O M ∢ = A S B ∢

, mert száraik megfelelően merőlegesek egymásra.
Az

A S B ∢

-et felező egyenes az

A x

-et, ill.

B y

-t oly kör középpontjában metszi, mely az

A S B

szög szárait érinti. Az első esetben az

(O)

körhöz tartozó egyik

(O')

kör az

S B

egyenes, a második esetben az

(O')

körhöz tartozó egyik

(O)

kör az

S A

egyenes. (Belső érintkezés!)

^{$^{*}$}A

h

index határhelyzetet jelent.

^{$^{*}$}Ha az $O'_{1}$ körből indulunk ki, azaz keresünk olyan $O$ kört, mely $S A$ -t az $A$ -ban érinti és $(O'_{1})$ -t is érinti, ilyen kettő lesz: az egyik az $O$ , a másik azonban az $A S B ∢$ szárain kívül fekszik, és középpontja az $ω'$ körnek az $A S B ∢$ szárain kívül eső részén.