Kezdőlap


Feladat:	1224. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baka Sándor , Berényi E. , Bizám György , Böröcz Imre , Erőd Márta , Faludy J. , Fischer K. , Freud Géza , Hajdu Á. , Hoffmann Tibor , Horváth M. , Horváth Sándor , Jesch A. , Juhász G. , Kaiser K. , Koren Pál , Kovács Ervin , Kovács I. , Laub György , Lipsitz Imre , Lőke Endre , Matolcsy Kálmán , Messmer A. , Ozoróczy Gyula , Rajó S. , Róka Ede , Schmidt Tibor , Singer E. , Sulner L. , Sziklavári J. , Szittyai Dezső , Tamássy J. , Trunkó I. , Vizi László , Vogth Gyula
Füzet:	1938/február, 168. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mértani középtételek derékszögű háromszögekben, Körök, Terület, felszín, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/december: 1224. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az adott kör sugara legyen $O A$ , melyet a szóbanforgó körök $B$ -ben és $C$ -ben metszenek.

Azaz:

\begin{matrix} {\bar{O C}}^{2} \cdot π = ({\bar{O B}}^{2} - {\bar{O C}}^{2}) π = ({\bar{O A}}^{2} - {\bar{O B}}^{2}) π . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} 2 {\bar{O C}}^{2} = {\bar{O B}}^{2}, {\bar{O A}}^{2} = 2 O B^{2} - {\bar{O C}}^{2} = 3 {\bar{O C}}^{2} . \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} \bar{O C} = \frac{\bar{O A}}{\sqrt[]{3}} = \frac{\bar{O A} \sqrt[]{3}}{3}, O B = \bar{O C} \sqrt[]{2} = \frac{\bar{O A} \sqrt[]{6}}{3} \end{matrix}

és

\begin{matrix} {\bar{O B}}^{2} + O C^{2} = O A^{2} (\frac{6}{9} + \frac{3}{9}) = {\bar{O A}}^{2} . \end{matrix}

Eszerint

O B

és

O C

oly derékszögű háromszögek befogói, amelynek átfogója

O A

. Láttuk továbbá, hogy

{\bar{O B}}^{2} : {\bar{O C}}^{2} = 2 : 1

. Azonban a befogók négyzetei úgy aránylanak egymáshoz, mint az átfogón való vetületeik. Az átfogót,

O A

-t, oly két részre kell osztani, amelyek aránya

2 : 1

. Ha az osztópont

M

(úgy hogy

O M : M A = 2 : 1

), az

M

pontban

O A

-ra emelt merőleges az

O A

átmérőjű félkört

P

pontban metszi úgy, hogy:

O P = O B

és

A P = O C

Vogth Gyula (Szent István g. VI. o. Bp.)