Kezdőlap


Feladat:	1223. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ádám L. , Adler S. , Baka Sándor , Bizám György , Dékán E. , Erdélyi G. , Freisinger T. , Freud Géza , Füsz J. , Hoffmann Tibor , Holló György , Horváth M. , Kalcsó Gyula , Klacskó Géza , Koren Pál , Kovács I. , Laub György , Lehrfeld L. , Matolcsy Kálmán , Steiner Iván , Szittyai Dezső , Török E. , Vizi László , Vogth Gy.
Füzet:	1938/február, 167 - 168. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körülírt kör, Beírt kör, Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Háromszögek szerkesztése, Középponti és kerületi szögek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/december: 1223. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Tegyük fel, hogy feladatunkat megoldottuk: $A B C △$ a keresett háromszög, $I$ a beírt kör középpontja és ezen kör $B C$ -t a $D$ pontban érinti; $I D ⊥ B C$ .

B I

felezi a

β

C I

felezi a

γ

szöget, úgy hogy

\begin{matrix} B I C ∢ = 180^{\circ} - (\frac{β}{2} + \frac{γ}{2}) = 90^{\circ} + \frac{α}{2} . \end{matrix}

Eszerint az

I

pont egy

k

körön fekszik, amelyben a

B C

húrhoz

90^{\circ} + \frac{α}{2}

kerületi szög tartozik, még pedig ezen

k

kör kisebbik ívén. Másrészt

I

azon

e

egyenesnek pontja, mely

B C

-re a megadott

D

pontban merőleges.
A szerkesztés menete tehát ez: megszerkesztjük az adott

B C

távolsághoz az előbb definiált

k

kört és az

e

egyenest; a

k

kör kisebbik ívének és

e

-nek metszéspontja lesz

I

. Most már megszerkeszthetjük az

I D

sugarú kört, mely

B C

-t a

D

-ben érinti; ezen körhöz

B

-ből és

C

-ből még egy-egy érintőt húzunk; ezek metszéspontja lesz

A

, a háromszög harmadik csúcsa.

Klacskó Géza (Br. Kemény Zsigmond g. V. o. Bp. VI.).

II. Megoldás. Adva lévén a

B C

oldal és a vele szembenfekvő

α

szög, megszerkeszthetjük a keresett háromszög köré írható

γ

kört, t. i. azon kört, amelyben a

B C

húrhoz tartozó kerületi szög

α

(ill.

180^{\circ} - α

). Ha

I

A B C △

-be írható kör középpontja, akkor az

α

szöget felező

A I

egyenes a

γ

kört oly

K

pontban metszi, amely a

B C

húr másik oldalán fekvő ívet felezi. Kimutatjuk már most, hogy a

B I K △

egyenlőszárú.

Ugyanis a

B I K ∢

A B I △

külső szögeként

= \frac{α}{2} + \frac{β}{2}

.
Az

\begin{matrix} I B K ∢ = I B C ∢ + C B K ∢ = \frac{β}{2} + C A K ∢ = \frac{β}{2} + \frac{α}{2} . \end{matrix}

Ezért

K I = B I

.
A szerkesztés e szerint a következő: megszerkesztjük az

A B C △

köré írható

γ

kört; ennek azon ívét, amelynek pontjaiból

B C

húr

180^{\circ} - α

alatt látható, megfelezzük. A felező

K

pontból

K B

sugárral kört szerkesztünk.
A szerkesztés mindig lehetséges, hacsak

α < 180^{\circ}

és a

D

pont

B

és

C

, mely a

B C

-re

D

-ben állított merőlegest, a

B C

ellenkező oldalán az

I

pontban metszi között fekszik.

Hoffmann Tibor (áll. Szent István g. VI. o. Bp. XIV.)