Kezdőlap


Feladat:	1221. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Ádám L. , Anda F. , Baka Sándor , Bizám György , Blazovich F. , Bucher J. , Böröcz Imre , Csallóközi Z. , Dallos R. , Erőd Márta , Faludy J. , Fellegi Ödön , Ferenchalmy E. , Freud Géza , Gottlieb Endre , Gutmann István , Hajdu Á. , Haraszthy András , Hódi Endre , Hoffmann Tibor , Jándy G. , Jesch A. , Juhász G. , Juhász Kató , Kalcsó Gyula , Kelemen Z. , Klacskó Géza , Koren Pál , Kovács Gy. , Kovács Illés , Lipsitz Imre , Mandl Tibor , Martonfalvay H. , Matolcsy Kálmán , Mendelsohn György , Mogyoróssy Kálmán , Mórocza E. , Ozoróczy Gyula , Pallós Károly , Pfeifer Béla , Posewitz K. , Róka Ede , Schmidt Tibor , Sulner L. , Sziklavári I. , Szittyai Dezső , Szlovák I. , Tótfalussy M. , Trellay János , Trunkó I. , Vajda G. , Vogth Gy.
Füzet:	1938/február, 165 - 166. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/december: 1221. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $\sqrt[]{x + 2 + 2 \sqrt[]{x + 1}} = \sqrt[]{a} + \sqrt[]{b}$ .
Négyzetreemeléssel $x + 2 + 2 \sqrt[]{x + 1} = a + b + 2 \sqrt[]{a b}$ ,
tehát $x + 2 = a + b$ és $x + 1 = a b$ .
Így $a$ és $b$ az $u^{2} - (x + 2) u + (x + 1) = 0$
egyenlet gyökei. Ezek $u_{1,2} = \frac{x + 2 \pm \sqrt[]{{(x + 2)}^{2} - 4 (x + 1)}}{2} = \frac{x + 2 \pm x}{2}$

\begin{matrix} vagyis u_{1} = x + 1 és u_{2} = 1. \end{matrix}

Tehát

a = x + 1

és

b = 1

(vagy megfordítva) és

\begin{matrix} \sqrt[]{x + 2 + 2 \sqrt[]{x + 1}} = \sqrt[]{x + 1} + 1. \end{matrix}

Hasonlóan

\sqrt[]{x + 2 - 2 \sqrt[]{x + 1}} = \sqrt[]{x + 1} - 1

^*.

\begin{matrix} \sqrt[]{(x + 2) + 2 \sqrt[]{x + 1}} - \sqrt[]{(x + 2) - 2 \sqrt[]{x + 1}} = 2. \end{matrix}

Kovács Illés (Fazekas Mihály g. VI. o. Debrecen).

Jegyzet.

\sqrt[]{x + 2 \pm 2 \sqrt[]{x + 1}} = \sqrt[]{x + 1 \pm 2 \sqrt[]{x + 1} + 1} =

\begin{matrix} = \sqrt[]{{(\sqrt[]{x + 1} \pm 1)}^{2}} = \sqrt[]{x + 1} \pm 1. \end{matrix}

^*Itt nem cserélhetők fel a jobboldal tagjai.