Kezdőlap


Feladat:	1219. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Ádám L. , Anda J. , Baka Sándor , Barna J. , Bizám György , Bucher J. , Csallóközi Z. , Erőd Márta , Fábián T. , Faludy J. , Fonó András , Freud Géza , Gutmann István , Haraszthy András , Hódi Endre , Hoffmann Tibor , Holló György , Horváth Sándor , Kaiser K. , Klacskó Géza , Koren Pál , Kovács Ervin , Laub György , Lipsitz Imre , Mandl Tibor , Mendelsohn György , Mórocza J. , Pallós Károly , Pfeifer Béla , Philip M. , Schmidt Tibor , Sulner L. , Szittyai Dezső , Szlovák István , Trellay János , Vajda G. , Vizi László
Füzet:	1938/február, 164. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Irracionális egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/december: 1219. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg $\sqrt[]{x + 1} + \sqrt[]{x}$ összeggel; keletkezik

\begin{matrix} 1 < \frac{\sqrt[]{x + 1} + \sqrt[]{x}}{100} vagy \sqrt[]{x + 1} + \sqrt[]{x} > 100. \end{matrix}

Utóbbi egyenlőtlenség ki lesz elégítve, ha^{$^{*}$}

2 \sqrt[]{x} > 100

, azaz

x \geq 2500

, azonban nincs kielégítve, ha^{$^{*}$}

2 \sqrt[]{x + 1} < 100

, azaz

x < 2499

.
Itt csak

x

egész számú értékeire voltunk figyelemmel!

II. Megoldás. Az adott egyenlőtlenség

\sqrt[]{x + 1} < \frac{1}{10^{2}} + \sqrt[]{x}

alakban írható.

Négyzetre emelve

x + 1 < \frac{1}{10^{4}} + \frac{2 \sqrt[]{x}}{10^{2}} + x

.
Innen

\sqrt[]{x} > \frac{10^{4} - 1}{2 \cdot 10^{2}}, ill. x > {(\frac{10^{4} - 1}{2 \cdot 10^{2}})}^{2} = {(\frac{9999}{200})}^{2} = 49 \cdot 995^{2}

\begin{matrix} x > 2499 \cdot 500025. \end{matrix}

Schmidt Tibor (Kisfaludy Sándor g. VI. o. Sümeg).

^{$^{*}$}

\sqrt[]{x + 1} + \sqrt[]{x} > \sqrt[]{x} + \sqrt[]{x} \geq 100.

^{$^{*}$} $\sqrt[]{x + 1} + \sqrt[]{x} < \sqrt[]{x + 1} + \sqrt[]{x + 1} < 100.$