Kezdőlap


Feladat:	1216. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ádám L. , Baán Sándor , Baka Sándor , Berényi E. , Blazovich F. , Bleyer L. , Bolgár Imre , Bucher J. , Böröcz Imre , Csallóközi Z. , Deák András , Dékán E. , Erdélyi G. , Erőd Márta , Freisinger T. , Freud Géza , Galitzer I. , Gutmann István , Hajdu Á. , Haraszthy András , Hódi Endre , Hoffmann Tibor , Holló György , Holnapy K. , Horváth S. , Juhász G. , Kassa L. , Koren Pál , Kornis Edit , Kovács Egon , Kovács M. , Laub György , Lehrfeld L. , Lipsitz Imre , Lőke Endre , Matolcsy Kálmán , Mogyoróssy K. , Pallós Károly , Sámuel E. , Steiner Iván , Tóth Z. , Túrmezei T. , Vajda Gábor , Vendler Z. , Vizi László , Vogth Gy.
Füzet:	1938/január, 145. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek egybevágósága, Terület, felszín, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Egyéb sokszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/november: 1216. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A. szóbanforgó hatszög csúcsai, ábránk szerint $D$ , $E$ , $K$ , $H$ , $G$ , $F$ . A hatszög a következő részekből tehető össze:

A B C △

; ennek területe:

\frac{1}{2} A B \cdot A C = \frac{1}{2} c b

. (T. i.

A B = c

A C = b

B C = a)

.
2.

B C D E

négyzet; területe

= a^{2}

,
3.

A C F G

,, ; ,,

= b^{2}

,
4.

A B K H

,, ; ,,

= c^{2}

.
5.

A H G △

; ez

=_{}^{\infty} A B C Δ

; területe:

\frac{1}{2} b c

.
6.

B E K

és

C D F

háromszögek. Ezek mindegyike területre nézve megegyezik az

A B C △

területével. Állítsunk

B E

-re, ill. meghosszabbítására

K

-ból és

A

-ból merőlegeseket,

K N

-t és

A M

-t. Ekkor

A B M △ =_{}^{\infty} B K N △

, mert átfogójuk:

A B = B K

és pl.

K B N ∢ = B A N ∢

, mert száraik egymásra merőlegesek. Ebből következik, hogy

K N = B M

.
Azonban

K N

B E K △

-ben a

B E

oldalhoz,

B M

A B C △

-ben a

B C

oldalhoz tartozó magasság:

B E = B C

és

K N = B M

, tehát a két háromszög területe egyenlő.
Hasonlóan mutatható ki, hogy a

C D F △

területe is egyenlő az

A B C △

-ével Eszerint a hatszög területe:

\begin{matrix} \frac{b c}{2} + a^{2} + b^{2} + c^{2} + \frac{b c}{2} + 2 \frac{b c}{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 b c = a^{2} + {(b + c)}^{2} = a^{2} + d^{2} . \end{matrix}

Baka Sándor (Áll. Kemény Zsigmond g. V. o. Bp.)

Jegyzet. A

B E K △

területe egyenlő az

A B C △

-ével; arra is hivatkozhattunk volna, hogy e két háromszögnek két-két oldala egyenlő, t. i.

B K = B A

és

B E = B C

, és az általuk bezárt szögek kiegészítő szögek. (Pl. két ilyen háromszöget kapunk, ha egy háromszögben meghúzzuk az oldalfelezőt!)