Kezdőlap


Feladat:	1215. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Ádám L. , Adler S. , Baka Sándor , Berényi E. , Bleyer L. , Bucher J. , Csallóközi Z. , Czeizler Gy. , Erőd Márta , Faragó Kálmán , Freisinger T. , Freud Géza , Galitzer I. , Gutmann István , Hajdu Á. , Haraszthy András , Hódi Endre , Hoffmann Tibor , Holló György , Horváth S. , Koren Pál , Kovács Ervin , Lehrfeld L. , Lipsitz Imre , Lőke Endre , Mandl Tibor , Matolcsy Kálmán , Mogyoróssy K. , Sámuel E. , Steiner Gábor , Székely Mária , Szittyai Dezső , Szlovák István , Török E. , Vajda Gábor , Vargyai S. , Vizi László , Vogt Gy. , Wolfram E.
Füzet:	1938/január, 143 - 145. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Trapézok, Húrnégyszögek, Négyszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/november: 1215. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Tegyük fel, hogy $A B C D$ a keresett trapéz és $A B < C D$ . Húzzunk a $B$ csúcsból az $A C$ átlóval párhuzamosat és ez $D C$ meghosszabbítását messe $E$ -ben. Ekkor $B E = A C = d$ .

Az így keletkező

D B E

egyenlőszárú háromszög megszerkeszthető; ugyanis ismeretesek egyenlő oldalai:

B D = B E = d

és az általuk bezárt szög az átlók egyik szögével egyenlő (párhuzamos egyenesek metszésével keletkező megfelelő szögek).

D B E △

megszerkesztése után a

B

középpontból

B C = c

sugárral kört szerkesztünk; ezen kör

D E

-t a trapéz

C

csúcsában metszi.

C

pontból

B E

-vel,

B

-ből

D E

-vel párhuzamost húzva, ezek az

A

csúcsban metszik egymást.
Hogy a szerkesztés lehetséges legyen, szükséges és elegendő, hogy 1) a

B

pontból

c

sugárral szerkesztett kör messe a

D E

egyenest, vagyis

c

legalábbis akkora legyen, mint a

D B E △

ill. a trapéz

B H

magassága: 2) a

C

pont

D

és

E

között legyen, azaz a

c < d

. Egybefoglalva a két feltételt:

B H < c < d

.
Ha

B I C ∢ = 60^{\circ}

, azaz

D B E ∢ = 120^{\circ}

, akkor

H B E ∢ = 60^{\circ}

és így

B H = \frac{1}{2} B E = \frac{1}{2} d

. A szerkesztés lehetőségének feltétele:

\begin{matrix} \frac{d}{2} \leq c < d . \end{matrix}

c = \frac{d}{2}

, akkor a

(B, c)

kör érinti

D E

-t; a trapézból derékszögű négyszög lesz.
A

(B, c)

kör a

D E

-t még egy

C'

pontban metszi; ezen

C'

pontból kiindulva az előbbihez hasonló szerkesztéssel ugyanolyan trapézt kapunk, mint amilyen

A B C D

, csakhogy akkor

A B

lesz a párhuzamos oldalak nagyobbika.

II. Megoldás. Legyen

A B C D

a keresett trapéz és

A B < C D

. A szimmetrikus trapézban az átlók

I

metszéspontja a trapéz szimmetriatengelyén fekszik, azaz

D I C △

egyenlőszárú:

D I = I C

. Ha már most a

D I C ∢

(vagy mellékszöge) ismeretes, akkor az

I D C ∢ \equiv B D C ∢

is adva van és így a

B C D △

-ben két oldal és a kisebbikkel szembenfekvő szög ismeretes.¹ A szerkesztés az ismert módon végezhető; két háromszöget kapunk,

B C D

-t és

B C' D

-t, amelyek közül ‐ ha

A B < C D

‐ a

B C D △

-et használjuk fel a trapéz szerkesztésére. (L. az I. megoldást!)
A szerkesztés lehetőségének feltételei ugyanazok, mint I. alatt.
Ha

B I C ∢ = 60^{\circ}

, akkor

B D C ∢ = 30^{\circ}

és

B H = \frac{1}{2} B D = \frac{1}{2} d

Koren Pál (áll. Fazekas Mihály g. VI. o. Debrecen)

III. Megoldás. Kiindulhatunk abból is, hogy a szimmetrikus trapéz húrnégyszög, tehát igyekezzünk a köréje írt kört megszerkeszteni. Ha az előbbi jelöléseket megtartva,

A I D ∢ = α

van adva, akkor, mivel

A B I

és

C D I

egyenlőszárú háromszögek, melyekre nézve

α

külső szög,

\begin{matrix} A B D ∢ \equiv A B I ∢ = \frac{α}{2} \end{matrix}

és

\begin{matrix} A C D ∢ \equiv I C D ∢ = \frac{α}{2} . \end{matrix}

Ebből következik, hogy

B

és

C

oly körön feküsznek, melyben az

A D

húrhoz

\frac{α}{2}

kerületi szög tartozik: így tehát ezen kör megszerkeszthető. Ezen körben

A

-ból

A C = d

D

-ből

D B = d

hosszúságú húrokat szerkesztünk: így megkapjuk

B C

-t is.

A szerkesztés lehetőségének feltétele, hogy

d

legfeljebb akkora legyen, mint a kör átmérője és

d > c

, hogy a trapéz konvex legyen.
Ha

α = 60^{\circ}

, akkor

c

a körbe írt szabályos hatszög oldalával egyenlő; a kör átmérője

2 c

és a szerkesztés lehetőségének feltétele

\begin{matrix} c < d < 2 c, \end{matrix}

ugyanaz, mint I. alatt.

Steiner Gábor (Toldy Ferenc g. IV. o. Bp.)

¹Ha konvex trapézról van szó, akkor

c < d