Kezdőlap


Feladat:	1214. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Baka Sándor , Bleyer L. , Bodnár J. , Czeizler Gy. , Freud Géza , Hoffmann Tibor , Holló György , Holnapy K. , Koren Pál , Kornis Edit , Kovács I. , Laub György , Lipsitz Imre , Mandl Tibor , Ritscher L. , Szittyai Dezső , Vajda Gábor , Vendler Z. , Vizi László
Füzet:	1938/január, 142 - 143. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai bizonyítások, Középponti és kerületi szögek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/november: 1214. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Az $A B$ távolságra, $I$ felezőpontban állítsunk merőlegest; ez az $A B$ -vel párhuzamos $e$ egyenest a $C$ pontban metszi. Ki fogjuk mutatni, hogy a kérdéses szögek között $A C B ∢$ a legnagyobb.

Legyen ugyanis

P

e

egyenes tetszőleges pontja, mely nem esik

C

-be. Az

A P B △

köré írt kört az

e

egyenes még egy

P'

pontban metszi úgy, hogy

P'

és

P

szimmetrikus pontok a

C

-re nézve. (A kör középpontja az

I C

egyenesen fekszik)
Az

A P B ∢

a körben kerületi szög, melynek mértéke a hozzátartozó

\hat{A M B}

ív fele.

\hat{A C B}

az ún. belső excentrikus szög,

\frac{1}{2} \hat{A M B}

-nél nagyobb

\frac{1}{2} \hat{A' N' B'}

, azaz

A C B ∢ > A P B ∢

.
Ha

P

C

-be esik, akkor

e

A C B △

köré írt körnek érintője!

II. Megoldás.

Szerkesszük meg azon

k

kört, mely az

A

B

pontokon keresztülmegy és az

e

egyenest a

C

pontban érinti. Az

e

egyenes tetszőleges

P

pontját kössük össze

A

-val és

B

-vel. A

P

az előbbi körön kívül fekszik. Az

A P

(vagy

B P

) a

k

kört a

D

pontban metszi. Ekkor

A D B ∢ = A C B ∢ = γ

, mert ugyanazon íven fekvő kerületi szögek. Másrészt

A D B ∢

P B D △

-nek külső szöge és ezért

A D B ∢ > D P B ∢

és így

A C B ∢ > A P B ∢

.
Vajda Gábor (izr. g. VI. o. Debrecen)

Jegyzet. Számos megoldás nem volt elfogadható, mivel állitásuk bizonyítás híjján volt.
Azonban nem fogadhatunk el olyan megoldást sem, amely azt állítja ‐ ismét bizonyítás nélkül ‐ hogy egyenlő alapú és magasságú háromszögekben az alappal szemben fekvő szög legnagyobb az egyenlőszárú háromszögben.