Kezdőlap


Feladat:	1210. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baán Sándor , Baka Sándor , Bizám György , Bleyer L. , Buchler J. , Csallóközi Z. , Csatlós L. , Csűry K. , Czeizler Gy. , Dénes L. , Faludy J. , Fellegi Ödön , Freud Géza , Galitzer I. , Gottlieb Endre , Gutmann István , Halphen M. , Haraszthy András , Hódi Endre , Hoffmann Tibor , Horváth Sándor , Jesch A. , Juhász G. , Kaiser K. , Klacskó Géza , Koren Pál , Kornis Edit , Kovács E. , Kovács Ibolya , Kovács L. , Kovács M. , Lipsitz Imre , Martonfalvay M. , Mendelsohn György , Mogyoróssy Kálmán , Osim I. , Pallós Károly , Pfeifer Béla , Róka Ede , Sámuel E. , Sebők László , Steiner Iván , Szittyai Dezső , Trellay János , Török E. , Unterberger Gy. , Vajda Gábor , Vizi László , Vogth Gy. , Wolfram E. , Zsótér T.
Füzet:	1938/január, 139. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Polinomok szorzattá alakítása, Esetvizsgálat, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/november: 1210. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A 2) egyenlet tagjait kivonva a 3) megfelelő tagjaiból, keletkezik:

\begin{matrix} 7 x + y = 3 ... \end{matrix}

(4)

Az 1) tagjaiból 2) tagjait kivonva:

(a^{3} - 1) x + (a - 1) y = a^{2} - 1

.
Ha

a \neq 1

, akkor

(a - 1)

tényezővel egyszerűsíthetünk és így

\begin{matrix} (a^{2} + a + 1) x + y = a + 1 ... \end{matrix}

(5)

Most már 4) és 5)-ből:

\begin{matrix} (a^{2} + a - 6) x = a - 2 ... \end{matrix}

(6)

Azonban

\begin{matrix} a^{2} + a - 6 = (a + 3) (a - 2); \\ ha & a \neq 2, akkor (a + 3) x = 1, \\ és ha & a \neq - 3, akkor x = \frac{1}{a + 3} . \end{matrix}

4) szerint

\begin{matrix} y = 3 - 7 x = 3 - \frac{7}{a + 3} = \frac{3 a + 2}{a + 3} . \end{matrix}

2)-ből

\begin{matrix} z = 1 - x - y = 1 - \frac{1}{a + 3} - \frac{3 a + 2}{a + 3} = - \frac{2 a}{a + 3} . \end{matrix}

Feltételeztük, hogy

a

sem

1

, sem

2

, sem

3

\begin{matrix} Ha & a = 1, & akkor & az & 1) és 2) & egyenletek & megegyeznek. \\ Ha & a = 2, & ,, & ,, & 1) és 3) & ,, & ,, & . \end{matrix}

Mindkét esetben a három ismeretlen kiszámítására két egyenletünk lesz:

\begin{matrix} x + y + z = 1 és 8 x + 2 y + z = 4. \end{matrix}

Innen

y = 3 - 7 x

z = 6 x - 2

, azaz határozatlan esettel állunk szemben. (Végtelen sok megoldás!)
Ha

a = - 3

akkor a 6) egyenlet ellenmondást tartalmaz; nincs olyan véges értékrendszer, mely mind a három egyenletet kielégítené. (

x

y

z

‐ amint kifejezésük mutatja ‐ végtelenné válnak!)

Róka Ede (Ref. g. V. o. Bp.)