Kezdőlap


Feladat:	1209. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Baka Sándor , Bleyer L. , Bucher J. , Büchler E. , Csallóközi Z. , Csizmadia P. , Czeizler Gy. , Deák András , Erhardt O. , Freud Géza , Fülöp J. , Gutmann István , Győri T. , Haraszthy András , Hódi Endre , Hoffmann Tibor , Holnapy K. , Juhász G. , Juhász Kató , Kaiser K. , Koós I. , Kovács Gy. , Kovács I. , Kovács L. , Kovács M. , Liekovszky P. , Lipsitz Imre , Machovich O. , Mogyoróssy Kálmán , Pallós Károly , Pfeifer Béla , Róka Ede , Schmidt Tibor , Sebők László , Steiner B. , Steiner Iván , Szlovák István , Szodfridt J. , Trellay János , Unterberger Gy. , Vajda Gábor , Vizi László
Füzet:	1938/január, 138 - 139. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenség-rendszerek, Egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/november: 1209. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egyenlőtlenségünk írható a következő alakban:

\begin{matrix} \frac{x^{3} - 1}{x^{3} + 1} - \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1} > 0 vagy \frac{(x^{3} - 1) (x^{2} + 1) - (x^{2} - 1) (x^{3} + 1)}{(x^{2} + 1) (x^{3} + 1)} > 0. \end{matrix}

A baloldali tört számlálója, a kijelölt szorzások végrehajtása és összevonás után:

2 x^{3} - 2 x^{2} = 2 x^{2} (x - 1)

. Keletkezik tehát

\begin{matrix} \frac{2 x^{2} (x - 1)}{(x^{2} + 1) (x^{3} + 1)} > 0. \end{matrix}

x^{2}

és

x^{2} + 1

mindig pozitívek. Az egyenlőtlenség ki lesz elégítve, ha

x - 1

és

x^{3} + 1

megegyező előjelűek.
Ha

x > 1

, akkor

x - 1 > 0

és

x^{3} + 1 > 0

.
Ha

x < - 1

, akkor

x - 1 < 0

és

x^{3} + 1 < 0

.
Ha azonban

- 1 < x < 1

, akkor

x - 1 < 0

, de

x^{3} + 1 > 0

.
Eszerint az egyenlőtlenség akkor van kielégítve, ha

\begin{matrix} x < - 1 vagy x > 1. \end{matrix}

Vizi László (Ciszterci Szent István g. V. o. Székesfehérvár)