Kezdőlap


Feladat:	1208. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ádám L. , Baán Sándor , Baka L. , Bán T. , Blazovich F. , Bucher J. , Böröcz I. , Chabada György , Csallóközi Z. , Csizmadia P. , Dallos R. , Deák András , Erharadt O. , Erőd Márta , Faludy J. , Fellegi Ödön , Freud Géza , Fülöp J. , Galitzer I. , Gottlieb Endre , Gutmann István , Hajdu Á. , Halphen M. , Haraszthy András , Hódi Endre , Hoffmann Tibor , Irányi L. , Jesch A. , Juhász G. , Kopátsy S. , Koren Pál , Kornis Edit , Kovács Egon , Kovács Gy. , Kustyák Lajos , Lipsitz I. , Machovich O. , Mandl T. , Mendelsohn Gy. , Messner A. , Mogyoróssy P. , Pallós K. , Ritscher L. , Róka Ede , Schmidl T. , Soór J. , Steiner Iván , Stocker J. , Szántó Á. , Sziklaváry J. , Szittyai Dezső , Szodfridt J. , Trellay János , Turmezey T. , Török E. , Vizi László , Wolfram E. , Zsótér I.
Füzet:	1938/január, 138. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Azonosságok, Polinomok szorzattá alakítása, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/november: 1208. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha a négyzetre emelést elvégezzük, $x^{2}$ együtthatója

\begin{matrix} (b - c) + (c - a) + (a - b) = 0. \end{matrix}

x

együtthatója:

\begin{matrix} - & 2 a (b - c) - 2 b (c - a) - 2 c (a - b) = \\ = & - 2 (a b - a c + b c - a c + a c - b c) = 0. \end{matrix}

Eszerint

x^{2}

és

x

eltűnnek, marad az

x

-et nem tartalmazó tag:

\begin{matrix} a^{2} (b - c) + b^{2} (c - a) + c^{2} (a - b) = a^{2} (b - c) - (b^{2} - c^{2}) a + b^{2} c - b c^{2} = \\ = (b - c) [a^{2} - (b + c) a + b c] = (b - c) (a - b) (a - c) . \end{matrix}

Kustyák Lajos (Somssich Pál g. V. o. Kaposvár)

II. Megoldás.

\begin{matrix} y = {(x - a)}^{2} (b - c) + {(x - b)}^{2} (c - a) + {(x - c)}^{2} (a - b) \end{matrix}

x

-nek oly másodfokú függvénye, mely három helyen ugyanazon értéket veszi fel. Mégpedig,

\begin{matrix} ha & x = a, & y = {(a - b)}^{2} (c - a) + {(a - c)}^{2} (a - b) = - (a - b) (b - c) (c - a); \\ ,, & x = b, & y = {(b - a)}^{2} (b - c) + {(b - c)}^{2} (a - b) = - (a - b) (b - c) (c - a); \\ ,, & x = c, & y = {(c - a)}^{2} (b - c) + {(c - b)}^{2} (c - a) = - (a - b) (b - c) (c - a) . \end{matrix}

Ha egy másodfokú függvény három különböző helyen ugyanazon értéket veszi fel, akkor

x

minden értékénél is értéke ugyanaz, tehát állandó. A parabolából az

X

tengellyel párhuzamos egyenes lesz.

Deák András (érseki g. VI. o. Bp. II.)