Kezdőlap


Feladat:	1206. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Freud Géza , Kovács L. , Lipsitz Imre , Matolcsy Kálmán , Mészáros Gy. , Szittyai Dezső
Füzet:	1937/december, 107. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai bizonyítások, Húrnégyszögek, Érintőnégyszögek, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/október: 1206. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $A B C D$ az $O$ kör érintőnégyszöge, $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ érintési pontokkal. Az átlók metszéspontja $R$ .

A M O N

és

C P O Q

négyszögek mindegyikben két derékszög van; ezért

\begin{matrix} \hat{A} - 180^{\circ} - \hat{M O N} és \hat{C} = 180^{\circ} - \hat{P O Q} \\ \hat{A} + \hat{C} = 360^{\circ} - \hat{(M O N} + \hat{P O Q}) . \end{matrix}

Azonban

\begin{matrix} \hat{M O N} + \hat{P O Q} = \hat{2 M R N}, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} \hat{A} + \hat{C} = 360^{\circ} - \hat{2 M R N} . \end{matrix}

Már most, ha

A B C D

húrnégyszög, akkor

\begin{matrix} \hat{A} + \hat{C} = 180^{\circ}, tehát \hat{2 M R N} = 180^{\circ}, \hat{M R N} = 90^{\circ} : \end{matrix}

az érintési pontokat összekötő húrok merőlegesek egymásra.

Ha pedig ezen húrok merőlegesek egymásra, ill.

\hat{M R N} = 90^{\circ}

, akkor

\hat{A} + \hat{C} = 360^{\circ} - 180^{\circ} = 180^{\circ}

, tehát

A B C D

húrnégyszög.

Matocsy Kálmán (Faludi Ferenc g. VI. o. Szombathely).

\hat{M R N}

ú. n. belső excentrikus szög; ennek mértéke a szárak által kimetszett ívek összegének fele. Ezen ívek,

\hat{M N}

és

\hat{P Q}

az MON és POQ középponti szögek mértékei.