Feladat: 1201. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Baán Sándor ,  Baka Sándor ,  Blazovich G. ,  Bucher J. ,  Böröcz Imre ,  Chabada György ,  Deák András ,  Erőd Márta ,  Faludy János ,  Fellegi Ödön ,  Freud Géza ,  Frey E. ,  Gottlieb Endre ,  Gutmann István ,  Haraszthy András ,  Hegedűs M. ,  Hódi Endre ,  Hoffmann Tibor ,  Iványi I. ,  Juhász Gy. ,  Kaiser K. ,  Klacskó Gy. ,  Koren Pál ,  Kovács E. ,  Kovács L. ,  Lakatos L. ,  Laub György ,  Lipsitz Imre ,  Lőke Endre ,  Mandl Tibor ,  Mendelsohn György ,  Mészáros György ,  Mogyoróssy Kálmán ,  Pallós Károly ,  Pfeifer Béla ,  Sebők László ,  Steiner Iván ,  Sulner László ,  Szittyai Dezső ,  Szlovák István ,  Trellay János ,  Unterberger Gy. ,  Vörös L. 
Füzet: 1937/december, 103. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Esetvizsgálat, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1937/október: 1201. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az 1) egyenletből a törteket eltávolítjuk:

x(y-b)+y(x-a)=2(x-a)(y-b).

A kijelölt műveletek végrehajtása és az egynemű tagok összevonása után keletkezik:
bx+ay=2ab...(3)

A 2) és 3) megfelelő tagjait egymástól kivonva, lesz:
(a-b)(x-y)=0...(4)

Már most 4) alapján vagy a-b=0 vagy x-y=0.
Ha a-b=0, ill. a=b, akkor a 4) azonossággá válik. Ebben az esetben ugyanis mindkét egyenletünk x-y=2a alakot veszi fel, tehát határozatlan egyenletrendszerrel van dolgunk.
Ha a≠b, akkor x-y=0, ill. x=y. Ennek alapján 2)-ből vagy 3)-ból:
(a+b)x=2abés ígyx=y=2aba+b,
hacsak a+b≠0.
Az a+b=0 esetben ellenmondás áll elő; ha a=-b, akkor az 3)-ból:
x-y=-2aés4)-bőlx-y=+2a
ellenmondó egyenletek állanak elő.
 
Összefoglalva: ha a≠±b, akkor az egyenletrendszer határozott és x=y=2aba+b.
Ha a=b, akkor az egyenletrendszert kielégítik az x+y=2a egyenlet összes megoldásai; az egyenletrendszer határozatlan.
Ha a=-b, az egyenletrendszer ellenmondó: nincs olyan véges értékpár, mely kielégítené.
 
 Mandl Tibor (Bp. Eötvös József g. V. o. Bp. IV.).