Kezdőlap


Feladat:	1200. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Baán Sándor , Blazovich F. , Bleyer L. , Bucher J. , Böröcz Imre , Csallóközi A. , Csizmadia P. , Erhardt O. , Faludy János , Freud Géza , Frey E. , Frisch Róbert , Gottlieb Endre , Gutmann István , Haraszthy András , Hódi Endre , Hoffmann Tibor , Juhász G. , Juhász Kató , Kaiser K. , Kalcsó Gyula , Kertész L. , Klacskó Géza , Koren Pál , Kornis Edit , Kovács Ibolya , Kovács L. , Kovács M. , Lieszkovszky P. , Lóránd Endre , Machovich O. , Mandel György , Mandl Tibor , Martonfalvy H. , Mendelsohn György , Mészáros Gy. , Mogyoróssy Kálmán , Pallós Károly , Pfeifer Béla , Prack Éva , Sebők László , Szádeczky Kardoss B. , Szittyai Dezső , Trellay János , Unterberger Gy. , Vajda G. , Vogt Gy.
Füzet:	1937/december, 102. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Paraméteres egyenletek, Azonosságok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/október: 1200. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egyenletünk jobb oldalán álló tagokat a baloldalra áthozva, keletkezik:

\begin{matrix} (\frac{a - x}{a + x} - \frac{a + x}{a - x}) + (\frac{b - x}{b + x} - \frac{b + x}{b - x}) = 0. \end{matrix}

ill.

\begin{matrix} \frac{{(a - x)}^{2} - {(a + x)}^{2}}{a^{2} - x^{2}} + \frac{{(b - x)}^{2} - {(b + x)}^{2}}{b^{2} - x^{2}} = 0. \end{matrix}

A számlálókban kijelölt műveletek végrehajtása után

\begin{matrix} \frac{4 a x}{a^{2} - x^{2}} + \frac{4 b x}{b^{2} - x^{2}} = 0, \end{matrix}

ill.

\begin{matrix} 4 x [a (b^{2} - x^{2}) + b (a^{2} - x^{2})] = 0. \end{matrix}

Ezen egyenlet egyik gyöke

x = 0

, kielégíti az eredeti egyenletet is. Az egyenlet másik gyökét

\begin{matrix} a (b^{2} - x^{2}) + b (a^{2} - x^{2}) = 0 vagy (a + b) x^{2} = a b (a + b) \end{matrix}

egyenlet szolgáltatja. Ha már most

a + b = 0

, akkor

\begin{matrix} x^{2} = a b és x = \pm \sqrt[]{a b} . \end{matrix}

Az adott egyenlet gyökei:

x = 0

és

x = \pm \sqrt[]{a b}

.
Ha

a + b = 0

, azaz

b = - a

, akkor egyenletünk,

\begin{matrix} \frac{a - x}{a + x} + \frac{a + x}{a - x} = \frac{a + x}{a - x} + \frac{a - x}{a + x} \end{matrix}

alakban írható; nyilvánvalóan azonossággal van dolgunk, melyet az

x

bármely értéke kielégít.

Freud Géza (Berzsenyi g. VI. o. Bp. V.)