Kezdőlap


Feladat:	1198. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baka Sándor , Bleyer L. , Bucher J. , Böröcz Imre , Chabada György , Csallóközi Z. , Csizmadia P. , Deák András , Erőd Márta , Faludy János , Faragó Kálmán , Fazekas F. , Fellegi Ödön , Freud Géza , Frey E. , Fülöp J. , Gutmann István , Haraszthy András , Hódi Endre , Hoffmann Tibor , Juhász G. , Juhász Kató , Kaiser K. , Klacskó Géza , Koren Pál , Kornis Edit , Kovács E. , Kovács L. , Kovács M. , Laub György , Lieszkovszky P. , Lipsitz Imre , Lőke Endre , Lovass Nagy V. , Matolcsy Kálmán , Mészáros György , Mogyoróssy Kálmán , Pallós Károly , Prack Éva , Róka Ede , Say F. , Sebők László , Spirer P. , Steiner Iván , Sulner László , Szittyai Dezső , Szlovák István , Tamássy J. , Trellay János , Vajda G. , Vizi László , Vörös L.
Füzet:	1937/december, 101. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Oszthatóság, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/október: 1198. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Ha $n$ nem osztható 3-mal, $3 k' \pm 1$ alakban írható. Minthogy $n$ páratlan is, kell, hogy $k'$ páros legyen, azaz $k' = 2 k$ és így $n = 6 k \pm 1$ . Most már

\begin{matrix} n^{2} + 5 = {(6 k \pm 1)}^{2} + 5 = 36 k^{2} \pm 12 k + 6. \end{matrix}

Minthogy itt minden tag 6 többszöröse,

n^{2} + 5 = 6 M

Szlovák István (Vörösmarty g. VI. o. Bp. VIII.)

II. Megoldás.

n^{2} + 5 = n^{2} - 1 + 6 = (n + 1) (n - 1) + 6

. Ha

n

páratlan,

(n + 1) (n - 1)

osztható 2-vel. Ha

n

nem osztható 3-mal, vagy

n + 1

vagy

n - 1

osztható 3-mal. Tehát, ha

n

nem osztható 6-tal, akkor

n^{2} - 1

osztható vele és így

\begin{matrix} n^{2} + 5 - (n^{2} - 1) + 6 \end{matrix}

is a 6 többszöröse.
Fellegi Ödön (Kegyesrendi g. V. o. Bp.)