Feladat: 1195. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Baka Sándor ,  Berényi E. ,  Blazovich F. ,  Bleyer L. ,  Bolgár Imre ,  Böröcz Imre ,  Csépes F. ,  Faludy János ,  Fellegi Ödön ,  Freud Géza ,  Frey E. ,  Gutmann István ,  Haraszthy András ,  Hegedüs Zs. ,  Hódi Endre ,  Kaiser K. ,  Klacskó Géza ,  Kolozs J. ,  Kornis Edit ,  Kovács E. ,  Kovács L. ,  Kovács M. ,  Kulcsár L. ,  Kunstädter L. ,  Laub György ,  Lipsitz Imre ,  Mandl Tibor ,  Matolcsy Kálmán ,  Méry T. ,  Mészáros György ,  Mogyoróssy Kálmán ,  Pallós Károly ,  Rozsályi Z. ,  Rubinstein Gy. ,  Sámuel E. ,  Steiner Iván ,  Sulner László ,  Székely Mária ,  Szittyai Dezső ,  Trellay János ,  Unterberger Gy. ,  Vendel Z. 
Füzet: 1937/november, 73 - 74. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Köréírt alakzatok, Trapézok, Érintőnégyszögek, Négyszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1937/szeptember: 1195. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. A kör KL átmérőjének két végpontjában húzzunk a körhöz érintőket; ezek párhuzamosak, a trapéz párhuzamos oldalainak tartói. A K pontból a trapéz megadott oldalával, mint sugárral kört szerkesztünk, mely az L ponton át húzott érintőt az M (és M') pontban metszi. A kör O középpontjából KM-re merőleges sugarat állítunk, ezen sugár P végpontjában a körhöz érintőt húzunk; ezen érintőnek a két párhuzamos érintő közötti darabja =KM és a trapéz AD oldala lesz; AD-vel a KL-re nézve szimmetrikus BC lesz a trapézt bezáró oldal.

 
 

A szerkesztés lehetőségének feltétele, hogy a trapéz megadott oldala (KM) a kör átmérőjénél nagyobb legyen.
 
Haraszthy András (Szent-László g. V. o. Bp. X.)
 

II. Megoldás. Az érintőnégyszög jellemző tulajdonsága, hogy két-két szembenfekvő oldalának összege egyenlő. Szimmetrikus trapéz esetében a párhuzamos oldalak összege egyenlő a nem párhuzamos oldalak összegével:
a+b=2c, tehát c=a+b2.
A trapéz középvonala eszerint =c=AD.
A trapéz középvonala felezi az AD-t az E pontban.
Ezek alapján a szerkesztést így végezhetjük: a kör O középpontján át tetszőleges egyenest húzunk és erre felmérjük az OE=c2 távolságot; E pontból a körhöz érintőt húzunk és erre felmérjük az EA=ED=c2 távolságokat. Az A és D pontokból a körhöz még egy-egy érintőt húzunk; ezek érintéspontjai K, L. A trapéz kiegészítése a KL-re való szimmetria alapján történhetik.
 
Freud Géza (Berzsenyi Dániel g. VI. o. Bp. V.)
 

Kiegészítés. Igazolnunk kell azonban, hogy AKDL. Ugyanis OADΔ az O-nál derékszögű, mert OE=EA-ED. Ezért OAE+ODE=90.
Másrészt OAK=OAE és ODL=ODE.
Így 2(OAE+ODE)=EAK+EDL=290=180, tehát AKDL.