Kezdőlap


Feladat:	1190. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Antal I. , Baán Sándor , Baka Sándor , Barna Gy. , Blazovich F. , Bleyer L. , Budavári G. , Böröcz Imre , Chabada György , Deák András , Erhardt Ottó , Erőd Márta , Fábián T. , Ferenchalmy E. , Freud Géza , Frisch Róbert , Füsz János , Gosztola L. , Gutmann István , Halphen M. , Haraszthy András , Hegedüs M. , Hódi Endre , Hoffmann Tibor , Irányi I. , Jándy G. , Juhász Kató , Kaiser K. , Klacskó Géza , Koren Pál , Kornis Edit , Kovács E. , Kovács I. , Kovács Ibolya , Kovács L. , Kovács M. , Kulcsár L. , Lipsitz Imre , Lőke Endre , Lóránd László , Makai Z. , Mandl Tibor , Matolcsy Kálmán , Mendelsohn György , Mészáros György , Mogyoróssy Kálmán , Orlay J. , Pallós L. , Pfeifer Béla , Puhr L. , Sebők László , Spirer P. , Steiner Iván , Stinner T. , Szádeczky-Kardoss B. , Szittyai Dezső , Tamássy J. , Trellay János , Unterberger Gy.
Füzet:	1937/november, 68 - 69. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Hossz, kerület, Mozgással kapcsolatos szöveges feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/szeptember: 1190. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az első kerekek kerülete legyen $x$ , a hátulsóké $y$ . Az első kerekek fordulatainak száma a 120 méternyi úton $\frac{120}{x}$ , a hátulsóké $\frac{120}{y}$ .
Ha az első kerekek kerülete negyedrészükkel nagyobb, azaz $\frac{5}{4} x$ , akkor a fordulataik száma: $120 : \frac{5}{4} x = \frac{4}{5} \cdot \frac{120}{x}$ . Ha a hátulsó kerekek kerülete ötödrészükkel nagyobb, azaz $\frac{6}{5} y$ , akkor fordulataik száma: $\frac{5}{6} \cdot \frac{120}{y}$ .
Eszerint a következő két egyenlet írható fel:

\begin{matrix} \frac{120}{x} - \frac{120}{y} = 6 ... & (1) \\ \frac{4}{5} \cdot \frac{120}{x} - \frac{5}{6} \cdot \frac{120}{y} = 4 ... & (2) \end{matrix}

Célszerű

\frac{120}{x} = u

\frac{120}{y} = v

helyettesítés eszközölnünk; ezáltal

\begin{matrix} u - v = 6 ... & (1a) \\ \frac{4}{5} u - \frac{5}{6} v = 4 ... & (2a) \end{matrix}

2a)-ban a törteket eltávolítjuk:

\begin{matrix} 24 u - 25 v = 120 ... \end{matrix}

(2b)

1a) tagjait 24-gyel szorozzuk:

\begin{matrix} 24 u - 24 v = 144 ... \end{matrix}

(1b)

E két egyenlet megfelelő tagjainak kivonásával, keletkezik

\begin{matrix} v = 24 és így u = 30, \\ tehát x = \frac{120}{u} = \frac{120}{30} = 4 m és y = \frac{120}{v} = \frac{120}{24} = 5 m . \end{matrix}

Baka Sándor (Kemény Zsigmond r. V. a Bp. VI.).

II. Megoldás. Az 1) és 2) egyenletekből a törtek eltávolításával keletkezik:

\begin{matrix} 120 y - 120 x = 6 x y ... & (1c) \\ 96 y - 100 x = 4 x y . & (2c) \end{matrix}

ill.

\begin{matrix} 20 y - 20 x = x y ... & (1d) \\ 24 y - 25 x = x y ... & (2d) \end{matrix}

Utóbbi két egyenletből:

20 y - 20 x = 24 y - 25 x

azaz

4 y = 5 x

y = \frac{5 x}{4}

helyettesítéssel pl. 1d)-ből:

\begin{matrix} 25 x - 20 x = \frac{5 x^{2}}{4} azaz x^{2} - 4 x = x (x - 4) = 0. \end{matrix}

Innen:

x_{1} = 0

és

x_{2} = 4

. Eszerint csak

x = 4

vehető figyelembe feladatunk szempontjából. Ha

x = 4

y = \frac{5 \cdot 4}{4} = 5

Erhardt Ottó (Bencés g. V. o. Győr).