Kezdőlap


Feladat:	1187. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bleyer L. , Erdősi N. , Kornis Edit , Kovács M. , Kulcsár L. , Lipsitz Imre , Matolcsy Kálmán , Steiner Iván
Füzet:	1937/november, 66 - 67. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Permutációk, Legnagyobb közös osztó, Oszthatóság, Tizes alapú számrendszer, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/szeptember: 1187. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$N = \bar{a b c d e f} = 10^{5} a + n$ alakban írható.
Így

\begin{matrix} N' = \bar{b c d e f a} = 10 n + a . \end{matrix}

Jelentse

p

999 = 10^{3} - 1

valamely osztóját; feltevésünk szerint

N = k p

, azaz

\begin{matrix} 10^{5} a + n = k p \end{matrix}

és

\begin{matrix} N' = 10 (k p - 10^{5} a) + a = 10 k p - a (10^{6} - 1) \\ N' = 10 k p - a (10^{3} - 1) (10^{3} + 1) . \end{matrix}

Minthogy

10^{3} - 1

p

többszöröse,

N'

is többszöröse

p

-nek.

Kornis Edit (Ráskai Lea leányg. V. o. Bp. V.)

Jegyzet. A többi megoldás (számszerint 17) nem volt figyelembe vehető. Egyes megoldások feltételezték azt, hogy

a, b, c, ...

a számsor egymás után következő számait jelentik.
Más megoldások az oszthatóság szempontjából helytelen állításokat engednek meg: ,,ha egy szám osztható 3-mal és 111-gyel, akkor osztható 333-mal.'' Ha valamely szám osztható

p_{1}

és

p_{2}

számokkal, szorzatukkal csak akkor osztható, ha relatív prímek.

Jegyzet.

b c d e f a

c d e f a b

d e f a b c

e f a b c d

f a b c d e

, az

a b c d e f

csoportnak ciklikus permutációi. A tétel valamennyire nézve érvényes.