Kezdőlap


Feladat:	1186. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baán Sándor , Bagdy Dániel , Bulkay Lajos , Fekete András , Freud Géza , Frisch Róbert , Grosz László , Hoffmann Tibor , Miklós Erzsébet , Sándor Gyula , Száva I. , Tóth I.
Füzet:	1937/október, 42 - 43. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számtani sorozat, Síkgeometriai számítások trigonometriával, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/május: 1186. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Legyen $a < b < c$ és így $α < β < γ$ , úgy hogy

\begin{matrix} α = β - x, γ = β + x, α + β + γ = 3 β = 180^{\circ}, β = 60^{\circ} . \end{matrix}

Eszerint

α = 60^{\circ} - x, γ = 60^{\circ} + x = 30^{\circ} . és a : c = 1 : 2

.

A tangens tétel alkalmazásával:

\begin{matrix} tg \frac{γ + α}{2} : tg \frac{γ - α}{2} = (2 + 1) : (2 - 1) azaz tg 60^{\circ} : tg x = 3 : 1. \end{matrix}

Eszerint

\begin{matrix} tg x = \frac{tg 60^{\circ}}{3} = \frac{\sqrt[]{3}}{3}, tehát x = 30^{\circ} . \end{matrix}

A háromszög szögei

30^{\circ}

60^{\circ}

90^{\circ}

. (Ekkor

c = 2 a

Grosz László (Balassi Bálint g. VI. o. Balassagyarmat).

II. Megoldás. Az

A B C Δ

-ben, amint láttuk

β = 60^{\circ}

. Ha

A B = 2 B C

és

M

felezi az

A B

t, akkor a

B C M Δ

-ben

B M = B C

és e két oldal által közbezárt szög

60^{\circ}

; kell, hogy a

C M

oldalon fekvő szögek mindegyike

60^{\circ}

-ú legyen, tehát

B C M Δ

egyenlőoldalú. Mivel pedig

C M ∢ = 120^{\circ}

és

C M = B M = A M

, az

A C M ∢

-ben az

A C

oldalon fekvő szögek egyenlők, mindegyik

30^{\circ}

.

Eszerint

\begin{matrix} α = 30^{\circ}, γ = 60^{\circ} + 30^{\circ} = 90^{\circ} . \end{matrix}

Frisch Róbert (Szent István g. V. o. Bp. XIV.)