Kezdőlap


Feladat:	1179. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baán Sándor , Bagdy Dániel , Fekete András , Freud Géza , Grünfeld Sándor , Halász Iván , Klein József , Matolcsy Kálmán , Sándor Gyula , Sebők László , Sommer György , Szittyai Dezső , Tóth I.
Füzet:	1937/október, 38 - 39. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek grafikus megoldása, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Gyakorlat, Algebrai átalakítások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/május: 1179. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Az egyenlőtlenség minden lapját a baloldalra helyezzük és közös nevezőre hozunk, így keletkezik:

\begin{matrix} \frac{{(x - 1)}^{2} - x (x + 1)}{x^{2} - 1} > 0 vagy - \frac{3 x - 1}{(x + 1) (x - 1)} > 0, \\ ill. \frac{3 x - 1}{(x + 1) (x - 1)} < 0. \end{matrix}

Ezen egyenlőtlenség ki van elégítve, ha

3 x - 1

és

(x + 1) (x - 1)

ellenkező előjelűek.
Ha

3 x - 1 < 0

, azaz

x < \frac{1}{3}

, akkor kell, hogy

(x + 1) (x - 1) > 0

legyen, tehát

x

nem lehet

- 1

és

+ 1

között. A két követelménynek az

x < - 1

értékek felelnek meg.
Ha

3 x - 1 > 0

, azaz

x < \frac{1}{3}

, akkor kell hogy

(x + 1) (x - 1) > 0

legyen, tehát

- 1 < x < + 1

. Ebben az esetben az

\frac{1}{3} < x < 1

értékek elégítik ki az egyenlőtlenséget. Eszerint az egyenlőtlenség megoldása:

\begin{matrix} x < - 1 vagy \frac{1}{3} < x < 1. \end{matrix}

Freud Géza (Berzsenyi Dániel g. V. o. Bp. V.)

II. Megoldás. Egyenlőtlenségünket

\begin{matrix} \frac{1 - 3 x}{x^{2} - 1} > 0 \end{matrix}

alakban is írhatjuk. Már most ábrázoljuk az

\begin{matrix} y_{1} = 1 - 3 x és y_{2} = x^{2} - 1 \end{matrix}

függvényeket. Az egyenlőtlenség megoldását szolgáltatják mindazon

x

értékek, amelyeknél mind a két függvény grafikonja az

X

-tengely alatt vagy az

X

-tengely felett fekszik.

y_{1} = 1 - 3 x

függvénynek egyenes felel meg, mely keresztül megy a

(0,1)

(\frac{1}{3},0)

pontokon.

y_{2} = x^{2} - 1

függvény képe parabola, melynek csúcsa a

(0, - 1)

pont és ez alsó tetőpont.
Amint látjuk, mindkét grafikon az

X

-tengely felett van az

x < - 1

helyeken, az

X

-tengely alatt az

\frac{1}{3} < x < 1

helyeken.

Sebők László (Bencés g. V. o. Győr.)