Kezdőlap


Feladat:	1174. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Grosz László , Steiner Iván
Füzet:	1937/szeptember, 8. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Érintőnégyszögek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/április: 1174. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{0}$ Az $A B$ , $B C$ , $C D$ , $D A$ oldalak érintési pontjai rendre $K$ , $L$ , $M$ , $N$ . Ismeretes, hogy $O A$ felezi az $N O K$ , $O B$ a $K O L$ , $O C$ az $L O M$ , $O D$ az $M O N$ szöget. így

\begin{matrix} N O A ∢ = A O K ∢ = α, K O B ∢ = B O L ∢ = β, \\ L O C ∢ = C O M ∢ = γ, M O D ∢ = D O N ∢ = δ . \end{matrix}

Eszerint

\begin{matrix} \hat{A O B} + \hat{C O D} = α + β + γ + δ \\ \hat{D O A} + \hat{B O C} = δ + α + β + γ . \end{matrix}

Azonban

2 (α + β + γ + δ) = 360^{\circ}

(az

O

körüli középponti szögek összege) tehát

\hat{A O B} + \hat{C O D} = α + β + γ + δ = 180^{\circ}

2^{0}

. Az

A O B

és

C O D

háromszögek közös

O

csúcsából kiinduló magasságuk egyenlő; ezért területük aránya a megfelelő alapok arányával egyenlő

(\frac{A B}{C D})

. Másrészt ezen háromszögek közös

O

csúcsánál fekvő szögük

1^{0}

szerint egymásnak kiegészítői és ezért területük aránya e szögeket bezáró oldalak szorzatának arányával is egyenlő, azaz

\begin{matrix} \frac{A B}{C D} = \frac{O A \cdot O B}{O C \cdot O D} . \end{matrix}

Hasonlóan:

\begin{matrix} \frac{A D}{C B} = \frac{O A \cdot O D}{O C \cdot O B} . \end{matrix}

E két egyenlet megfelelő oldalait szorozva, keletkezik:

\begin{matrix} \frac{A B \cdot A D}{C B \cdot C D} = {(\frac{O A}{C O})}^{2} . \end{matrix}