Kezdőlap


Feladat:	1172. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Freud Géza , Füleky Lajos , Grosz László , Hajnal Miklós , Matolcsy Kálmán , Sándor Gyula , Steiner Iván
Füzet:	1937/szeptember, 6 - 7. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú függvények, Egyenes, Gyakorlat, Függvényvizsgálat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/április: 1172. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{0}$ . A függvénykapcsolatot írjuk úgy fel, hogy a $k$ paramétert tartalmazó tagokat összefoglaljuk:

\begin{matrix} k (x^{2} - 2 x + 1) = x^{2} + y - 1. \end{matrix}

k

szorzója:

{(x - 1)}^{2}

. Ez eltűnik, ha

x = 1

; de ekkor

y = 0

. Eszerint a görbe a

k

bármely értéke mellett az

x = 1

y = 0

ponton megy keresztül.
A függvényt különben

\begin{matrix} y = k {(x - 1)}^{2} - (x^{2} - 1) = (x - 1) [k (x - 1) - (x + 1)] \end{matrix}

alakban írhatjuk. Ebből világosan kitűnik előbbi állításunk.

2^{0}

A görbe parabola csúcspontjának abscissája:

x = \frac{k}{k - 1}

. Ez azon hely, ahol a függvény szélső értékét veszi fel.
A csúcspont ordinátája

\begin{matrix} y = (k - 1) \frac{k^{2}}{{(k - 1)}^{2}} - \frac{2 k^{2}}{k - 1} + k + 1 = k + 1 - \frac{k^{2}}{k - 1} = \frac{- 1}{k - 1} . \end{matrix}

Eszerint a csúcspont koordinátái között

\begin{matrix} x + y = \frac{k - 1}{k - 1} = 1 \end{matrix}

összefüggés áll fenn; ez annyit jelent, hogy a parabola csúcspontja egy egyenest ír le. Ezen egyenes meghatározására legalkalmasabbak a koordinátatengelyekkel való metszéspontjai, tehát:

\begin{matrix} (x = 1, y = 0) és (x = 0, y = 1) . \end{matrix}

Füleky Lajos (Koháry István g. VI. o. Gyöngyös.)