Kezdőlap


Feladat:	1171. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baán L. , Bulkay Lajos , Freud Géza , Füleky Lajos , Förstner György , Grünfeld Sándor , Hajnal Miklós , Halász Iván , Hoffmann J. , Klein József , Kovách Erzsébet , Kunstädter L. , Margulit György , Palágyi Ilona , Petrovics J. , Sommer György , Steiner Iván
Füzet:	1937/szeptember, 5 - 6. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/április: 1171. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Az egyenletben szereplő négyzetgyök valós, ha $x^{2} \leq a^{2}$ . Ezért az egyenletnek csak olyan megoldását vehetjük figyelembe, amely ezen követelményt kielégíti.
Az egyenletet

\begin{matrix} 3 x^{2} - 2 a^{2} = a \sqrt[]{a^{2} - x^{2}} ... \end{matrix}

(1)

alakban írjuk és tegyük fel, hogy

a > 0

. Ekkor kell, hogy legyen:

\begin{matrix} 3 x^{2} - 2 a^{2} > 0 azaz a^{2} \geq x^{2} > \frac{2 a^{2}}{3} ... \end{matrix}

(2)

Az 1) egyenlet mindkét oldalán négyzetre emelve és rendezve,

\begin{matrix} 9 x^{4} - 11 a^{2} x^{2} + 3 a^{4} = 0 \end{matrix}

és innen

α = {(x^{2})}_{1} = \frac{11 + \sqrt[]{13}}{18} a^{2}

β = {(x^{2})}_{2} = \frac{11 - \sqrt[]{13}}{18} a^{2}

.
Ezek közül a 2) feltételnek csak

α = \frac{11 + \sqrt[]{13}}{18} a^{2}

felel meg és így az adott egyenletet

\begin{matrix} x = \pm \frac{a}{3} \sqrt[]{\frac{11 + \sqrt[]{13}}{2}} elégíti ki. \end{matrix}

β

-val jelzett érték a

3 x^{2} + a \sqrt[]{a^{2} - x^{2}} - 2 a^{2} = 0

egyenletnek gyöke.
Ha

a < 0

, akkor

x^{2} < \frac{2 a^{2}}{3}

tartozik lenni és ezen esetben a

β

elégíti ki az 1) egyenletet, míg

α

3 x^{2} + a \sqrt[]{a^{2} - x^{2}} - 2 a^{2} = 0

egyenletet.

Freud Géza (Berzsenyi Dániel g. V. o. Bp. V.).

II. Megoldás. Legyen

\sqrt[]{a^{2} - x^{2}} = y

, ahol

y > 0

tartozik lenni. Ekkor

\begin{matrix} x^{2} = a^{2} - y^{2} . \end{matrix}

Behelyettesítve az adott egyenletbe:

\begin{matrix} 3 (a^{2} - y^{2}) - a y - 2 a^{2} = 0, ill. 3 y^{2} + a y - a^{2} = 0. \end{matrix}

Innen, mivel

y > 0

y = \frac{- a + \sqrt[]{a^{2} + 12 a^{2}}}{6} = \frac{\sqrt[]{13} - 1}{6} a,

hacsak

a > 0

és

\begin{matrix} x^{2} = a^{2} - {(\frac{\sqrt[]{13} - 1}{6})}^{2} a^{2} = \frac{11 + \sqrt[]{13}}{18} a^{2}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} x = \pm \frac{a}{3} \sqrt[]{\frac{11 + \sqrt[]{13}}{2}} \sim \pm 0, 9 a . \end{matrix}

Steiner Iván (Toldy Ferenc r. V. o. Bp. II.)

Kiegészités. Ha

a < 0

, akkor

y > 0

azon esetben áll elő, amidőn

\begin{matrix} y = \frac{- \sqrt[]{13} - 1}{6} a = - \frac{\sqrt[]{13} + 1}{6} a \end{matrix}

és

\begin{matrix} x^{2} = a^{2} - {(\frac{\sqrt[]{13} + 1}{6})}^{2} a^{2} = \frac{11 - \sqrt[]{13}}{18} a^{2} \\ x = \pm \frac{a}{3} \sqrt[]{\frac{11 - \sqrt[]{13}}{2}} \sim \pm 0, 64 a . \end{matrix}