Kezdőlap


Feladat:	1170. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Baán L. , Bagoly D. , Bodnár J. , Bolgár Imre , Bulkay Lajos , Dudás Imre , Fonó Kató , Freud Géza , Frisch R. , Füleky Lajos , Förstner György , Grosz László , Hajnal Miklós , Halász Iván , Hoffmann Tibor , Kemény Miklós , Klein József , Laub György , Margulit György , Matolcsy Kálmán , Perl I. , Perl Magda , Petrovics J. , Rotter Éva , Sándor Gyula , Sommer György , Steiner Iván , Száva I. , Tornai Jenő , Tóth B. , Vásárhelyi Nagy Sándor , Vecsés J.
Füzet:	1937/szeptember, 5. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/április: 1170. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha a gyökök $x_{1}$ és $x_{2}$ , akkor a feladat követelménye

\begin{matrix} x_{1}^{2} - x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2}) (x_{1} - x_{2}) = b (x_{1} - x_{2}) = \pm 7 \end{matrix}

alakban írható.¹ Négyzetre emelve mindkét oldalon,

\begin{matrix} b^{2} {(x_{1} - x_{2})}^{2} = b^{2} [{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 x_{1} x_{2}] = b^{2} (b^{2} - 48) = 49 \end{matrix}

²azaz

\begin{matrix} b^{4} - 48 b^{2} - 49 = 0. \end{matrix}

Ezen egyenletből

b_{1}^{2} = 49

és

b_{2}^{2} = 1

. Az utóbbi

b

-re nem ad valós értéket, figyelmen kívül hagyhatjuk. Eszerint csak

b^{2} = 49

felel meg, tehát

b = \pm 7

.
A követelménynek megfelelő egyenletek:

\begin{matrix} x^{2} - 7 x + 12 = 0 és x^{2} + 7 x + 12 = 0. \end{matrix}

Az első gyökei:

+ 4

és

+ 3

[4^{2} - 3^{2} = 16 - 9 = 7]

.
A második gyökei:

- 4

és

- 3

[{(- 4)}^{2} - {(- 3)}^{2} = 16 - 9 = 7]

x_{1} - x_{2}

előjele megváltozik, ha

x_{1}

-t

x_{2}

-vel felcseréljük.

²Minthogy $x^{2}$ együtthatója $1$ , ${(x_{1} - x_{2})}^{2}$ az egyenlet discriminánsával egyenlő.