Kezdőlap


Feladat:	1169. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baán L. , Freud Géza , Füleky Lajos , Grünfeld Sándor , Hoffmann Tibor , Juhász Kató , Klein József , Rotter Éva , Sándor Gyula , Steiner Iván , Száva I. , Szittyai Dezső , Vecsés J.
Füzet:	1937/szeptember, 4. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/április: 1169. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$z$ kiküszöbölése céljából a 3) tagjait szorozzuk $- c$ -vel és a 2) tagjaihoz hozzáadjuk; ezután az 1) tagjait $2$ -vel szorozva, ugyancsak a 2) tagjaival vonjuk össze. Így keletkezik:

\begin{matrix} 3 a x - (3 c + b) y = - a b ... \end{matrix}

(4)

és

\begin{matrix} 5 a x + b y = 5 a c + a b ... \end{matrix}

(5)

vagy

\begin{matrix} 3 (a x - c y) = b (y - a) ... \end{matrix}

(4a)

ill.

\begin{matrix} 5 a (x - c) + b (y - a) = 0 ... \end{matrix}

(5a)

Az 5a)-t nyilván kielégíti:

x = c

y = a

: de ezen értékpár a 4a)-t is kielégíti. Most már 3)-ból:

z = a

.
Az egyenletrendszer megoldása eszerint:

\begin{matrix} x = c, y = a, z = a . \end{matrix}

Az egyenletrendszernek csak ezen egy megoldása van és határozott, kivéve, ha (4) és 5) alapján)

\begin{matrix} 3 a b + 5 a (3 c + b) = a (8 b + 15 c) = 0. \end{matrix}

a = 0

, akkor egyenletrendszerünk ez lesz:

\begin{matrix} b y - c z = 0, - b y + 2 c z = 0, 3 y + 2 z = 0. \end{matrix}

Ennek megoldása:

y = 0

z = 0

b

és

c

bármely értékénél.

x

értéke tetszőleges. Az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van; tehát határozatlansággal van dolgunk.
(Ha

6 = c = 0

, akkor

y

és

z

is bármely értéket vehetnek fel.)
Ha pedig

8 b + 15 c = 0

, azaz

c = - \frac{8 b}{15}

akkor a 4) és 5) egyenletekből keletkezik:

\begin{matrix} 5 a x + b y = - \frac{5 a b}{3} és 5 a x + b y = - \frac{5 a b}{3} \end{matrix}

tehát ugyancsak határozatlan esettel állunk szemben.

Hoffmann Tibor (Szent István g. V. o. Bp. XIV.)