Kezdőlap


Feladat:	1166. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bagdy Dániel , Dudás Imre , Fehérváry Ákos , Fekete András , Füleky Lajos , Hajnal Miklós , Sommer György , Szilárd Rezső , Vásárhelyi Nagy Sándor
Füzet:	1937/május, 274 - 275. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Trigonometriai azonosságok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/március: 1166. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintettel arra, hogy

\begin{matrix} 2 sin^{2} x = 1 - cos 2 x és 2 sin^{2} y = 1 - cos 2 y, \end{matrix}

a 2)-ből keletkezik:

\begin{matrix} cos 2 x + cos 2 y = 2 cos a \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} 2 cos (x + y) cos (x - y) = 2 cos a, ill. cos a cos (x - y) = cos a ... \end{matrix}

(3)

Ha már most

cos a \neq 0

, akkor

\begin{matrix} cos (x - y) = 1, azaz x - y = 2 k π ... \end{matrix}

(4)

1)-ből és 4)-ből:

\begin{matrix} x = \frac{a}{2} + k π, y = \frac{a}{2} - k π, \end{matrix}

ahol

k

bármely pozitív vagy negatív egész szám, ill. zérus.
Ha pl.

k = 0

, akkor

x = \frac{a}{2}

y = \frac{a}{2}

; ezek valóban kielégítik az egyenletrendszert, mert

\begin{matrix} \frac{a}{2} + \frac{a}{2} = a és 2 sin^{2} \frac{a}{2} = 1 - cos a . \end{matrix}

Bagdy Dániel, (Fazekas Mihály r. VI. o. Debrecen.)

Jegyzet.

cos a = 0

esetben

a = (2 k + 1) \frac{π}{2}

. Egyenleteink ekkor:

\begin{matrix} x + y = (2 k + 1) \frac{π}{2} ... & (1) \\ és sin^{2} x + sin^{2} y = 1 ... & (2) \end{matrix}

\begin{matrix} y = (2 k + 1) \frac{π}{2} - x, akkor sin y = \pm cos x . \end{matrix}

Így 2)-ből

sin^{2} x + cos^{2} x = 1

azonosság keletkezik, tehát ekkor minden (

x

y

) értékpár, mely 1)-et kielégíti, megoldás. (Határozatlan feladat!)