Kezdőlap


Feladat:	1164. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Amigó György , Bagdy Dániel , Bleyer Jenő , Bleyer L. , Dancinger E. , Dudás Imre , Fehérváry Ákos , Fekete András , Freud Géza , Füleky Lajos , Fürst E. , Füsz János , Förstner György , Gaáli Mária , Grosz László , Grünfeld Sándor , Guttmann A. , Hajnal Miklós , Halász Iván , Havas I. , Jakab Károly , Klein József , Koch Gy. , Kovács Mátyás , Lipsitz Imre , Margulit György , Reskovits Á. , Sándor Gyula , Sommer György , Steiner Iván , Vásárhelyi Nagy Sándor , Weisz László
Füzet:	1937/május, 273. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai bizonyítások, Derékszögű háromszögek geometriája, Vetítések, Gyakorlat, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/március: 1164. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Stewart-tételével (l. ezen évfolyam 7. számában ‐1937/3. 193. old ‐a szerk.)

\begin{matrix} ({\bar{A D}}^{2} + \bar{B D} \cdot \bar{D C}) B C = {\bar{A B}}^{2} \cdot \bar{B D} + {\bar{A C}}^{2} \cdot \bar{D C}, \end{matrix}

\begin{matrix} ill. & ({\bar{A D}}^{2} + \frac{a}{3} \cdot \frac{2 a}{3}) a = c^{2} \cdot \frac{a}{3} + b^{2} \cdot \frac{2 a}{3}, \\ {\bar{A D}}^{2} + \frac{2 a^{2}}{9} = \frac{1}{3} (c^{2} + 2 b^{2}) \\ {\bar{A D}}^{2} = \frac{1}{3} (c^{2} + 2 b^{2}) - \frac{2 a^{2}}{9} & . \\ Hasonlóan & {\bar{A E}}^{2} = \frac{1}{3} (2 c^{2} + b^{2}) - \frac{2 a^{2}}{9} . \end{matrix}

Minthogy

\begin{matrix} {\bar{D E}}^{2} = {(\frac{a}{3})}^{2} = \frac{a^{2}}{9}, \\ {\bar{A D}}^{2} + {\bar{D E}}^{2} + {\bar{A E}}^{2} = \frac{1}{3} (3 c^{2} + 3 b^{2}) - \frac{4 a^{2}}{9} + \frac{a^{2}}{9} = a^{2} - \frac{3 a^{2}}{9} = \frac{2}{3} a^{2} . \end{matrix}

Weisz László (Elektromos ipari szakiskola, II. évf. Bp.).

II. Megoldás.

\bar{A D}

vetülete az

A B = c

befogón

\frac{c}{3}

, az

A C = b

befogón

\frac{2 b}{3}

. Ezért

\begin{matrix} {\bar{A D}}^{2} = \frac{c^{2}}{9} + \frac{4 b^{2}}{9} . \end{matrix}

\bar{A E}

vetülete

A B

-n

\frac{2 c}{3}

, az

A C

-n

\frac{b}{3}

. Így

\begin{matrix} {\bar{A E}}^{2} = \frac{4 c^{2}}{9} + \frac{b^{2}}{9} . \end{matrix}

Eszerint

\begin{matrix} {\bar{A D}}^{2} + {\bar{D E}}^{2} + {\bar{A E}}^{2} = \frac{5 c^{2}}{9} + \frac{5 b^{2}}{9} + \frac{a^{2}}{9} = \frac{5 (b^{2} + c^{2}) + a^{2}}{9} = \frac{6 a^{2}}{9} = \frac{2 a^{2}}{3} . \end{matrix}

Kovács Mátyás (Izr. rg. VI. o. Debrecen)