Kezdőlap


Feladat:	1161. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fehérváry Ákos , Freud Géza , Grosz László , Hajnal Miklós , Halász Iván , Lendvay József , Matolcsy Kálmán , Sándor Gyula , Steiner Iván
Füzet:	1937/május, 271. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú függvények, Háromszögek hasonlósága, Tengelyes tükrözés, Terület, felszín, Téglalapok, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/március: 1161. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Minthogy az $A B C$ és $A D C$ háromszögek az $A C$ -re nézve szimmetrikus helyzetűek, $K$ és $L$ , ill. $M$ és $N$ szimmetrikus helyzetű pontpárok úgy, hogy $K L = M N$ ; ezért a $K L M N$ idom téglalap, melynek oldalai: $K L = M N = 2 x$ és $K M = L N = z$ .

Most

\begin{matrix} A B C Δ \sim K B M Δ és ezért \\ K M : A C = (B O - x) : B O \\ z : 10 = (3 - x) : 3 \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} z = \frac{10}{3} (3 - x) . \end{matrix}

A téglalap területe:

\begin{matrix} y = 2 x z = \frac{20 x}{3} (3 - x) = - \frac{20}{3} x^{2} + 20 x . \end{matrix}

Vizsgálnunk kell ezen függvény változását, ha

0 < x \leq 3

.
Ha

x = 0

y = 0

és ha

x = 3

y = 0

. Az előbbi esetben a téglalap az

A C

, utóbbi esetben a

B D

vonaldarabbá zsugorodik össze a téglalap.

x = 0

és

x = 3

között a téglalap területe növekedik egy bizonyos értékig, azután csökken. Legnagyobb a téglalap területének értéke, ha

x = 1, 5

. A változás jellemzésére szolgál a következő táblázat (ill. ennek alapján készített grafikon).

\begin{matrix} x & 0 & 0,3 & 0,6 & 0,9 & 1,2 & 1,5 & 1,8 & 2,1 & 2,4 & 2,7 & 3 \\ y & 0 & 5,4 & 9,6 & 12,6 & 14,4 & \binom{15}{max.} & 14,4 & 12,6 & 9,6 & 5,4 & 0 \end{matrix}

Sándor Gyula (Kölcsey Ferenc rg. VI. o. Bp. VI.)