Kezdőlap


Feladat:	1158. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Amigó György , Bleyer Jenő , Bleyer L. , Danciger E. , Fehérváry Ákos , Füleky Lajos , Grosz László , Guttmann A. , Havas I. , Jakab Károly , Klein József , Kovács Mátyás , Lipsitz Imre , Matolcsy Kálmán , Sommer György , Szittyai Dezső
Füzet:	1937/május, 269. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Anyagok keverése és töltögetése, Gyakorlat, Mértani sorozat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/március: 1158. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az első merítés után marad $b_{1} = v - a_{1}$ liter bor és ehhez járul $a_{1}$ liter víz. A keverék literjében $\frac{b_{1}}{v} = \frac{v - a_{1}}{v}$ liter bor lesz és így a második merítésnél $\frac{v - a_{1}}{v} a_{2} = \frac{b_{1}}{v} a_{2}$ liter bort távolítunk el; marad tehát a keverékben

\begin{matrix} b_{2} = b_{1} - \frac{b_{1}}{v} a_{2} = \frac{b_{1} (v - a_{2})}{v} liter bor. \end{matrix}

Most már 1 liter keverékben

\frac{b_{2}}{v}

és

a_{3}

literben

\frac{b_{2}}{v} a_{3}

liter bor lesz, úgy hogy a harmadik merítés után

\begin{matrix} b_{3} = b_{2} - \frac{b_{2}}{v} a_{3} = \frac{b_{2} (v - a_{3})}{v} liter bor \end{matrix}

marad a keverékben s. i. t. Az

n

-edik merités után

\begin{matrix} b_{n} = \frac{b_{n - 1} (v - a_{n})}{v} \end{matrix}

liter bor marad a keverékben. Eszerint

\begin{matrix} b_{1} b_{2} b_{3} ... b_{n - 1} b_{n} = (v - a_{1}) \frac{b_{1} (v - a_{2})}{v} \cdot \frac{b_{2} (v - a_{3})}{v} ... \frac{b_{n - 1} (v - a_{n})}{v} \end{matrix}

és így

\begin{matrix} b_{n} = \frac{(v - a_{1}) (v - a_{2}) (v - a_{3}) ... (v - a_{n})}{v^{n - 1}} . \end{matrix}

NB. Ha

a_{1} = a_{2} = ... = a_{n} = a

, akkor

b_{n} = (v - a) {(\frac{v - a}{v})}^{n - 1};

ez oly geometriai haladvány

n

-dik tagja, amelyben ez első tag

v - a

és a hányados

\frac{v - a}{v}

Fehérváry Ákos (érseki rg. VI. o. Bp. II.)