Feladat: 1157. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Amigó György ,  Bleyer Jenő ,  Bleyer L. ,  Bulkay Lajos ,  Danciger E. ,  Deák András ,  Freud Géza ,  Frey G. ,  Füleky Lajos ,  Füsz János ,  Grosz László ,  Grünfeld L. ,  Guttmann A. ,  Hajnal Miklós ,  Halász Iván ,  Havas I. ,  Jakab Károly ,  Klein József ,  Kovács Mátyás ,  Lipsitz Imre ,  Sándor Gyula ,  Sommer György ,  Steiner Iván ,  Szilárd Rezső ,  Szittyai Dezső ,  Vásárhelyi Nagy Sándor 
Füzet: 1937/május, 268. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Nevezetes azonosságok, Szorzat, hatvány számjegyei, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1937/március: 1157. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. A bizonyítandó tulajdonságnak szükséges és elegendő feltétele, hogy az

an+4-an
különbségben az egyesek helyén zérus álljon, azaz
an+4-an=an(a4-1)
osztható legyen 10-zel, tehát 2-vel és 5-tel.
Ha a páros, akkor an, ha a páratlan, akkor a4-1 páros. Tehát an(a4-1) mindig osztható 2-vel.
Ha a az 5 többszöröse, akkor an is az.
Ha a nem többszöröse 5-nek, akkor a2-ben az egyesek helyén 1, 4, 6, 9 számok egyike áll; tehát vagy a2-1, vagy a2+1 és így ezek szorzata a4-1 osztható 5-tel.
 

 Grosz László (Balassi Bálint rg. VI. o. Balassagyarmat).
 

II. Megoldás.
an+4-an=an(a4-1)=an(a-1)(a+1)(a2+1).
Azonban
a2+1=(a2-4)+5=(a-2)(a+2)+5.
Így
an+4-an=an-1(a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)+5an(a2-1).

A jobboldal első tagjában öt egymásután következő egész szám szorzata áll: ezek egyike osztható 5-tel is, tehát szorzatuk 10-zel. A második tag is osztható 10-zel, mert vagy an vagy a2-1 páros szám.
Eszerint an+4-a4 osztható 10-zel.
 

 Jakab Károly (Kath. g. VI. o. magántanuló, Kalocsa).
 Szittyai Dezső (Wagner reálg. IV. o. Rákospalota).
 

III. Megoldás. Ha valamely számban az egyesek helyén 0, 1, 5, vagy 6 áll, bármely hatványukban az egyesek helyén 0, 1, 5, ill. 6 áll. Ezekre tehát a tétel közvetlenül láthatóan igaz.
Ha az egyesek helyén 3, 7, 9 áll, akkor negyedik hatványuk 10m+1 alakú. Ha ilyen számmal szorozzuk an-t, akkor a szorzatban (an+4) ugyanazon szám áll az egyesek helyén, mint an-ben.
Ha az egyesek helyén 2, 4, 8 áll, negyedik hatványuk 10m+6 alakú. Ha a páros an számot ‐ melynek utolsó jegye tehát 2, 4, 6, 8, oly számmal szorozzuk, mely az egyesek helyén 6 áll, a szorzata (an+4) egyeseinek helyén ugyanazon szám fog állani, mint an-ben.
 

 Bulkay Lajos (Bencés g. VI. o. Győr).