Kezdőlap


Feladat:	1156. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bagdy Dániel , Dudás Imre , Fehérváry Ákos , Grosz László , Grünfeld Sándor , Győrffy Kornélia , Hajnal Miklós , Halász Iván , Inczédy Anna , Joó Endre , Koch Irmgard , Lengyel Etelka , Sommer György , Száva I. , Vásárhelyi Nagy Sándor
Füzet:	1937/április, 240 - 241. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletrendszerek, Trigonometriai azonosságok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/február: 1156. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $1)$ egyenlet szerint

\begin{matrix} sin x + cos y - sin x + sin (\frac{π}{2} - y) = sin x - sin (y - \frac{π}{2}) = 0, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} sin x = sin (y - \frac{π}{2}) . \end{matrix}

Már most két eset lehetséges.
I.

x = y - \frac{π}{2}

; így

cos x = cos (y - \frac{π}{2}) = cos (\frac{π}{2} - y) = sin y

.
Ha

cos x

helyett

2)

-be

sin y

-t helyettesítünk, keletkezik

sin^{2} y = - \frac{1}{2}

. Ennek pedig nincs megoldása.
II.

x = π - (y - \frac{π}{2}) = \frac{3 π}{2} - y

. Most

cos x = - cos (y - \frac{π}{2}) = sin y

. Ezt behelyettesítve

2)

-be, keletkezik:

- sin^{2} y = - \frac{1}{2}

,
tehát

sin^{2} y = \frac{1}{2}

és

sin y = + \sqrt[]{\frac{1}{2}} = \pm \frac{\sqrt[]{2}}{2}

.
Eszerint, ha

sin y = + \frac{\sqrt[]{2}}{2}

, akkor

y = \frac{π}{4}

és

\frac{3 π}{4}

y = \frac{π}{4}

mellett

x = \frac{3 π}{2} - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4}

; ha

y = \frac{3 π}{4}

, akkor

x = \frac{3 π}{2} - \frac{3 π}{4} = \frac{3 π}{4}

.
Ha pedig

sin y = - \frac{\sqrt[]{2}}{2}

, akkor

y = \frac{5 π}{4}

, ill.

\frac{7 π}{4}

.
Az előbbi esetben

x = \frac{3 π}{2} - \frac{5 π}{4} = \frac{π}{4}

, utóbbi esetben

x = \frac{3 π}{2} - \frac{7 π}{4} = - \frac{π}{4}

. Azonban

x = - \frac{π}{4}

függvényei megegyeznek

- \frac{π}{4} + 2 π = \frac{7 π}{4}

függvényeivel.
Egyenletünket tehát

4

értékpár elégíti ki,

0

és

2 π

között:

\begin{matrix} x & = \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4}, \frac{7 π}{4} . \\ y & = \frac{5 π}{4}, \frac{3 π}{4}, \frac{π}{4}, \frac{7 π}{4} . \end{matrix}

NB. Az összetartozó értékek egymás alatt állanak.

\frac{π}{4}

45^{\circ}

-ú szög abszolút mérőszáma.

Dudás Imre (Fazekas Mihály r. VI. o. Debrecen).

Jegyzet. Egyenleteink mutatják, hogy

sin x

és

cos y

, valamint

cos x

és

sin y

ellenkező előjelűek. Az előjeleknek ezen ellenkezősége a második és negyedik negyedbeli szögeknél megvan, tehát, ha

x

második, ill. negyedik negyedbeli szög

(\frac{3 π}{4}, ill. \frac{7 π}{4})

, akkor

y

is második, ill. negyedik negyedbeli szög.
Az első és harmadik negyedben a

sin

és

cosin

előjelre megegyeznek, az elsőben mindakettő pozitív, a harmadikban mindakettő negatív. Ha tehát

x

az első negyedben, akkor

y

a harmadik negyedben van és viszont.