Kezdőlap


Feladat:	1154. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Fehérváry Ákos , Formágyi Gy. , Hajnal Miklós , Steiner Iván , Szittyay Dezső
Füzet:	1937/április, 239. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Paralelogrammák, Húrnégyszögek, Négyszögek középvonalai, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/február: 1154. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ismeretes, hogy a négyszög oldalainak felezőpontjai, ábránk szerint $P$ , $Q$ , $R$ , $S$ , egy parallelogramma csúcsai. így az $M$ pont a $P Q R S$ parallelogramma két átlójának, $P R$ - és $Q S$ -nek metszéspontja; ezért $M$ felezi a $P R$ -et.

Minthogy

C D

állandó hosszúságú húr, a körben való mozgása közben

R

az adott

k

körrel koncentrikus

k_{1}

kört ír le. Ezért

M

is egy

γ

kört ír le, mely

k_{1}

körrel a

P

-re nézve hasonló helyzetű:

P

k_{1}

és

γ

körök egyik hasonlósági pontja és a két kör sugarainak aránya

2 : 1

, továbbá, ha

γ

középpontja

ω

, akkor

P O : P ω = 2 : 1

Hogy a

γ

kört megszerkesszük, vegyük fel a

C D

-t az

A B

-vel párhuzamos helyzetekben; ezekben a

C D

felezőpontja

R_{1}

, ill.

R_{2}

. (

R_{1} R_{2}

k_{1}

kör átmérője.) Már most

P R_{1}

, ill.

P R_{2}

felezőpontja legyen

M_{1}

, ill.

M_{2}

. Ekkor

M_{1} M_{2}

γ

kör átmérője és

M_{1} M_{2}

felezőpontja a

P O

-nak is felezőpontja, a

γ

középpontja.

Szittyay Dezső (Wagner rg. IV. o. Rákospalota.)

Kiegészítés. Ha a

C D

húr teljes forgást végez

O

körül, akkor

R

leírja egészen a

k_{1}

és

M

γ

kört. Eközben azonban az

A B C D

konkáv is lehet.
Ha azonban a

C D

-nek csak azon helyzeteit vesszük figyelembe, amelyekben az

A B C D

konvex, úgy a

C D

-nek határhelyzete áll elő akkor, amikor

D

A

-ba, vagy

C

B

-be kerül. Ezen helyzeteknek megfelelő

M

pontok határolják a

γ

kör azon íveit, amelyek az

M

pont mértani helyének tekinthetők.